《2025年全效学习学业评价方案九年级数学上册华师大版》

1. 三角形的中位线
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做____。
2. 中位线的性质
定理：三角形的中位线____，并且____。
3. 三角形的重心
定义：三角形三条边上的____交于一点，这个点就是三角形的重心。
性质：重心与一边中点的连线长是对应中线长的$\frac{1}{3}$。

答案： 1. 三角形的中位线 2. 平行于第三边 等于第三边的一半 3. 中线

例1 试证明三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。（要求：先画出图形，再根据图形写出已知、求证和证明过程）

答案： 证明见解析

例2 [2023秋·临川区期中]如图，在四边形$ABCD$中，$AD = BC$，点$E$、$F$、$G$、$H$分别是$AB$、$CD$、$AC$、$BD$的中点，则四边形$EHFG$是____。

答案： 菱形

例3 如图，在$\triangle ABC$中，$AE$平分$\angle BAC$，$BE \perp AE$于点$E$，$F$是$BC$的中点。
(1)如图1，$BE$的延长线与边$AC$相交于点$D$，求证：$EF = \frac{1}{2}(AC - AB)$；
(2)如图2，写出线段$AB$、$AC$、$EF$之间的数量关系，并证明你的结论。
【点悟】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养知识的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形。

答案：
(1)证明：
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE。
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°。在△AEB和△AED中，∠BAE=∠DAE，AE=AE，∠AEB=∠AED，
∴△AEB≌△AED(ASA)。
∴AB=AD，BE=DE。
∵F是BC的中点，
∴BF=FC。
∴EF是△BCD的中位线。
∴EF=$\frac{1}{2}$DC。
∵DC=AC-AD=AC-AB，
∴EF=$\frac{1}{2}$(AC-AB)。
(2)EF=$\frac{1}{2}$(AB - AC)。证明：延长BE、CA交于点D。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE。
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AED=90°。在△AEB和△AED中，∠BAE=∠DAE，AE=AE，∠AEB=∠AED，
∴△AEB≌△AED(ASA)。
∴AB=AD，BE=DE。
∵F是BC的中点，
∴BF=FC。
∴EF是△BCD的中位线。
∴EF=$\frac{1}{2}$DC。
∵DC=AD - AC=AB - AC，
∴EF=$\frac{1}{2}$(AB - AC)。