《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 关于线段的垂直平分线有以下说法：
①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点；
②线段的垂直平分线是一条直线；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的一条对称轴.
其中,说法正确的有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.0个

答案： C

2. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AC$ 垂直平分 $BD$,垂足为 $E$,下列结论不一定成立的是(C)

A.$AB = AD$
B.$CA$ 平分 $\angle BCD$
C.$AB = BD$
D.$\triangle BEC\cong\triangle DEC$

答案： C

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB$,$AC$ 的垂直平分线分别交 $BC$ 于点 $D$,点 $M$,交 $AB$ 于点 $E$,交 $AC$ 于点 $F$,若 $BC = 4$,则 $\triangle ADM$ 的周长为(A)

A.4
B.6
C.8
D.10
]

答案： A

4. [2024 镇江] 如图,$\triangle ABC$ 的边 $AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$,连接 $BD$.若 $AC = 8$,$CD = 5$,则 $BD= $3.
]

答案： 3

5. [2025 徐州校级模拟] 如图,$\triangle ABC$ 中,$AB$,$AC$ 的垂直平分线 $l_1$,$l_2$ 相交于点 $O$,若 $\angle BAC$ 等于 $78^\circ$,则 $\angle OBC= $______$^\circ$.
]

答案：
12 【点拨】如图,连接 OA,
∵AB,AC 的垂直平分线l₁,l₂相交于点 O,
∴OA=OB,OA=OC,
∴∠OBA=∠OAB,∠OCA=∠OAC,OB=OC,
∴∠OBA+∠OCA=∠BAC=78°,
∴∠OBC+∠OCB=180°-∠BAC-（∠OBA+∠OCA）=24°.
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=12°.

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线,$AD$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $F$,交 $BC$ 的延长线于点 $E$.连接 $AE$,$DF$.求证：
(1) $\angle EAD = \angle EDA$；
(2) $DF// AC$.
]

答案： 【证明】
(1)
∵EF 是 AD 的垂直平分线,
∴DE=AE.
∴∠EAD=∠EDA.
(2)
∵EF 是 AD 的垂直平分线,
∴DF=AF.
∴∠FDA=∠FAD.
∵AD 是∠BAC 的平分线,
∴∠FAD=∠CAD.
∴∠FDA=∠CAD.
∴DF//AC.

7. 新考法 转化思想 如图,$MN$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线,点 $C$ 在 $MN$ 外,且与 $A$ 点在 $MN$ 的同一侧,连接 $BC$ 交 $MN$ 于点 $P$,连接 $AP$,则(B)

A.$BC ＞ PC + AP$
B.$BC = PC + AP$
C.$BC ＜ PC + AP$
D.$BC \leq PC + AP$
]

答案： B

8. 如图,线段 $AB$,$BC$ 的垂直平分线 $l_1$,$l_2$ 相交于点 $O$.若 $\angle OEB = 55^\circ$,则 $\angle AOC= $( )

A.$110^\circ$
B.$70^\circ$
C.$55^\circ$
D.$62.5^\circ$
]

答案：
B 【点拨】连接 BO,并延长 BO 到 P,如图.
∵∠OEB=55°,l₁⊥AB,
∴∠ABC=35°.
∵l₁,l₂分别为 AB,BC 的垂直平分线,
∴OA=OB=OC,
∴∠A=∠ABO,∠OBC=∠C.
∵∠AOP=∠A+∠ABO,∠COP=∠C+∠OBC,
∴∠AOC=∠AOP+∠COP=∠A+∠ABO+∠OBC+∠C=2∠ABC=2×35°=70°.故选 B.

9. 如图,等腰三角形 $ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle A = 36°$.线段 $AB$ 的垂直平分线交 $AB$ 于点 $D$,交 $AC$ 于点 $E$,连接 $BE$,则图中等腰三角形共有3个.
]

答案： 3 【点拨】
∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=$\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}$=72°.
∵DE 是 AB 的垂直平分线,
∴EA=EB,
∴∠A=∠ABE=36°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°,
∴∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°,
∴∠C=∠BEC=72°,
∴BC=BE,
∴图中的等腰三角形有:△ABC,△ABE,△BEC,共 3 个.