《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 计算$\sqrt {27}-\sqrt {8}×\sqrt {\frac {3}{2}}$的结果是(A)
A.$\sqrt {3}$
B.$-\sqrt {3}$
C.$2\sqrt {3}$
D.$5\sqrt {3}$

答案： A

2. [2024重庆]估计$\sqrt {12}(\sqrt {2}+\sqrt {3})$的值应在(C)
A.8和9之间
B.9和10之间
C.10和11之间
D.11和12之间

答案： C

3. 如图,数轴上的点可近似表示$(4\sqrt {6}-\sqrt {30})÷\sqrt {6}$的值的是(A)

A.点A
B.点B
C.点C
D.点D

答案： A

4. [2025沧州校级月考]已知$a= \frac {4}{\sqrt {5}-3},b= \sqrt {5}+3$,则a与b的关系是(A)
A.互为相反数
B.相等
C.互为倒数
D.互为负倒数

答案： A

5. 若$(2+\sqrt {3})(2+m)$是有理数,则无理数m的值为$-\sqrt{3}$。

答案： $-\sqrt{3}$

6. 如图,将面积分别为2,3,6的三个正方形放置在一起,则三个正方形共同重叠的阴影部分的面积为$2+\sqrt{6}-2\sqrt{3}$。

答案： $2+\sqrt{6}-2\sqrt{3}$ 【点拨】面积分别为2,3,6 的三个正方形边长分别为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$,$\therefore$阴影部分长为$\sqrt{2}$,宽为$\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}$.$\therefore$阴影部分的面积为$\sqrt{2}× (\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6})=2+\sqrt{6}-2\sqrt{3}$.

7. 计算：
(1)$\frac {\sqrt {20}+\sqrt {5}}{\sqrt {45}}-\sqrt {\frac {1}{3}}×\sqrt {6}$；
(2)$(\sqrt {3}+\sqrt {2})^{2}-(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {3}-\sqrt {2})$。

答案： 【解】
(1)原式$=\frac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{3\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{1}{3}× 6}=1-\sqrt{2}$.
(2)原式$=3+2\sqrt{6}+2-3+2=2\sqrt{6}+4$.

8. 先化简,再求值：
$\frac {a-b}{\sqrt {a}+\sqrt {b}}+\frac {a-4\sqrt {ab}+4b}{\sqrt {a}-2\sqrt {b}}$,其中$a= \frac {1}{2},b= 2$。

答案： 【解】原式$=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{(\sqrt{a}-2\sqrt{b})^{2}}{\sqrt{a}-2\sqrt{b}}$$=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{a}-2\sqrt{b}$$=2\sqrt{a}-3\sqrt{b}$.
当$a=\frac{1}{2},b=2$时,原式$=2× \frac{\sqrt{2}}{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-2\sqrt{2}$.

9. 若$a= \frac {1}{3-\sqrt {8}}-\frac {1}{\sqrt {8}-\sqrt {7}}+\frac {1}{\sqrt {7}-\sqrt {6}}-\frac {1}{\sqrt {6}-\sqrt {5}}$,则a的取值范围为(B)
A.$a\leqslant 0$
B.$0\lt a\lt 1$
C.$1\lt a\lt 2$
D.$a\gt 2$

答案： B 【点拨】$a=3+\sqrt{8}-(\sqrt{8}+\sqrt{7})+(\sqrt{7}+\sqrt{6})-(\sqrt{6}+\sqrt{5})=3-\sqrt{5}$.$\because 2＜\sqrt{5}＜3$,$\therefore 0＜a＜1$.

10. 情境题 游戏活动型 小康和小英玩摸卡片游戏：如图,有三张大小、形状、纸质及背面完全相同的卡片A,B,C,卡片正面分别写有一个算式,现将背面朝上,小康随机抽取两张,若小康所抽取的两张卡片上式子的结果都是无理数,则它们的和为(4)

A.4
B.6
C.8
D.10

答案： A 【点拨】易知卡片 A,C 上式子的结果是无理数,卡片 B 上式子的结果是有理数,$\therefore (1-\sqrt{3})^{2}+\sqrt{48}÷ \sqrt{(-2)^{2}}=1-2\sqrt{3}+3+4\sqrt{3}÷ 2=4-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4$.

11. [2025邯郸模拟]若$\sqrt {50}+\sqrt {2}= \sqrt {2}(a+1)$,则a的值为5。

答案： 5

12. 新考法 整体代入法 已知x,y满足方程组$\left\{\begin{array}{l} x+2y= 2\sqrt {3},\\ 2x+y= 4\sqrt {3},\end{array} \right. 则x^{2}-y^{2}$的值为12。

答案： 1. 首先，对$x^{2}-y^{2}$进行因式分解：
根据平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，则$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$。
2. 然后，求$x + y$与$x - y$的值：
对于方程组$\left\{\begin{array}{l}x + 2y=2\sqrt{3}&(1)\\2x + y=4\sqrt{3}&(2)\end{array}\right.$。
先求$x + y$的值：
将方程$(1)+(2)$得：$(x + 2y)+(2x + y)=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}$。
合并同类项：$3x + 3y=6\sqrt{3}$。
两边同时除以$3$，得$x + y = 2\sqrt{3}$。
再求$x - y$的值：
将方程$(2)-(1)$得：$(2x + y)-(x + 2y)=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}$。
去括号：$2x + y - x - 2y=2\sqrt{3}$。
合并同类项：$x - y = 2\sqrt{3}$。
3. 最后，计算$x^{2}-y^{2}$的值：
因为$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$，把$x + y = 2\sqrt{3}$，$x - y = 2\sqrt{3}$代入。
则$x^{2}-y^{2}=(2\sqrt{3})×(2\sqrt{3})$。
根据$(a\sqrt{b})×(c\sqrt{d})=ac\sqrt{bd}$（这里$a = c = 2$，$b = d = 3$），$(2\sqrt{3})×(2\sqrt{3})=2×2×\sqrt{3×3}$。
因为$\sqrt{3×3}=3$，所以$(2\sqrt{3})×(2\sqrt{3}) = 12$。
故$x^{2}-y^{2}$的值为$12$。

13. 若两个不相等的实数a,b满足$a+3\sqrt {b}= 8,b+3\sqrt {a}= 8$,则$\sqrt {a}+\sqrt {b}+\sqrt {ab}$的值为4。

答案： 4 【点拨】$\because a+3\sqrt{b}=8,b+3\sqrt{a}=8$,$\therefore a-b+3\sqrt{b}-3\sqrt{a}=0$.$\therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})-3(\sqrt{a}-\sqrt{b})=0$.$\therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b}-3)\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})=0$.$\because a≠b$,$\therefore \sqrt{a}≠\sqrt{b}$.$\therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}=3$.$\because a+b+3(\sqrt{a}+\sqrt{b})=16$,$\therefore a+b=7$.$\therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}-2\sqrt{ab}=7$.$\therefore \sqrt{ab}=1$.$\therefore$原式$=3+1=4$.