《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

8. 已知$x^{2}+x - 1 = 0$,求$\frac{1 + x}{x - 1}÷\frac{x + 1}{x}-\frac{x(x^{2}-1)}{x^{2}-2x + 1}$的值。

答案： 【解】原式=$\frac{1+x}{x-1}\cdot \frac{x}{x+1}-\frac{x(x+1)(x-1)}{(x-1)^{2}}=\frac{x}{x-1}-\frac{x(x+1)}{x-1}=-\frac{x^{2}}{x-1}$.
∵$x^{2}+x-1=0$,
∴$x-1=-x^{2}$.
∴原式=$-\frac{x^{2}}{-x^{2}}=1$.

9. 已知$x^{2}-5x + 1 = 0$,求$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}$的值。

答案： 【解】由题易知$x\neq 0$.将$x^{2}-5x+1=0$两边同时除以x,得$x-5+\frac{1}{x}=0$,即$x+\frac{1}{x}=5$,
∴$(x+\frac{1}{x})^{2}=25$,即$x^{2}+2+\frac{1}{x^{2}}=25$.
∴$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=23$.
∴$(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}=529$,即$x^{4}+2+\frac{1}{x^{4}}=529$.
∴$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=527$.

10. 计算：$\frac{x + 3}{x^{2}-4}÷\left(\frac{x + 3}{x + 2}+\frac{x^{2}+3x}{x - 2}\right)$。

答案： 【解】原式的倒数为$(\frac{x+3}{x+2}+\frac{x^{2}+3x}{x-2})÷ \frac{x+3}{x^{2}-4}=$
$[\frac{x+3}{x+2}+\frac{x(x+3)}{x-2}]\cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x+3}=\frac{x+3}{x+2}\cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x+3}+\frac{x(x+3)}{x-2}\cdot \frac{(x+2)(x-2)}{x+3}=(x-2)+x(x+2)=x^{2}+3x-2$.
∴$\frac{x+3}{x^{2}-4}÷ (\frac{x+3}{x+2}+\frac{x^{2}+3x}{x-2})=\frac{1}{x^{2}+3x-2}$.
点方法 若将除式与被除式调换位置,能够约分化简,则可利用倒数的倒数等于原数这一特点来化简.

11. 已知$\frac{a}{2}= \frac{b}{3}\neq0$,求式子$\frac{a}{a + 2b}-\frac{4b^{2}}{a^{2}+2ab}$的值。

答案： 【解】原式=$\frac{a^{2}}{a(a+2b)}-\frac{4b^{2}}{a(a+2b)}=\frac{a^{2}-4b^{2}}{a(a+2b)}=\frac{(a+2b)(a-2b)}{a(a+2b)}=\frac{a-2b}{a}$.
∵$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\neq 0$,
∴设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=k(k\neq 0)$,则$a=2k$,$b=3k$.
∴原式=$\frac{2k-6k}{2k}=-2$.

12. 已知$\frac{b + c}{a}= \frac{a + c}{b}= \frac{a + b}{c}$,计算：$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{abc}$。

答案： 【解】设$\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=m$,
则$b+c=am$,$a+c=bm$,$a+b=cm$.
把这3个等式相加,得$2(a+b+c)=(a+b+c)m$.
若$a+b+c=0$,即$a+b=-c$,则$m=-1$;
若$a+b+c\neq 0$,则$m=2$.
∴$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{cm\cdot am\cdot bm}{abc}=m^{3}$,
∴当$m=-1$时,原式=$-1$;当$m=2$时,原式=$8$.
点方法 设辅助参数,利用整体代入法将要求的分式转化为含辅助参数的分式,然后约分可求出其值.

13. 已知$3a - 4b - c = 0$,$2a + b - 8c = 0$,$c\neq0$。计算：$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab + bc + ac}$。

答案： 【解】把c当成已知数,用含c的式子表示a和b.由$\left\{\begin{array}{l} 3a-4b-c=0,\\ 2a+b-8c=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=3c,\\ b=2c.\end{array}\right. $
∴$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ac}=\frac{14c^{2}}{11c^{2}}=\frac{14}{11}$.
点方法 确定一个字母为已知数,通过解二元一次方程组求出方程组的解,用已知字母表示未知字母,再代入待求式子求值.