《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 母题 教材 P19 练习 T2 先化简,再求值：
$(\frac {a^{2}-9}{a^{2}-2a+1}÷\frac {a-3}{a-1}-\frac {1}{a-1})\cdot \frac {1}{a+2}$,其中 $a = 2$。

答案： 【解】$(\frac{a^{2}-9}{a^{2}-2a+1}÷\frac{a-3}{a-1}-\frac{1}{a-1})\cdot\frac{1}{a+2}$$=[\frac{(a-3)(a+3)}{(a-1)^{2}}\cdot\frac{a-1}{a-3}-\frac{1}{a-1}]\cdot\frac{1}{a+2}$$=(\frac{a+3}{a-1}-\frac{1}{a-1})\cdot\frac{1}{a+2}$$=\frac{a+2}{a-1}\cdot\frac{1}{a+2}$$=\frac{1}{a-1}$.当$a=2$时,原式$=\frac{1}{2-1}=1$.

2. 先化简,再求值：$(\frac {x^{2}-1}{x^{2}-2x+1}-\frac {1}{x-1})÷\frac {3}{x-1}$,其中 $x = (\frac {1}{2})^{-1}+(-3)^{0}$。

答案： 【解】$(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-2x+1}-\frac{1}{x-1})÷\frac{3}{x-1}$$=[\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^{2}}-\frac{x-1}{(x-1)^{2}}]×\frac{x-1}{3}$$=\frac{x(x-1)}{(x-1)^{2}}×\frac{x-1}{3}$$=\frac{x}{3}$.因为$x=(\frac{1}{2})^{-1}+(-3)^{0}=2+1=3$，所以原式$=\frac{3}{3}=1$.

3. 先化简,再求值：$(x + 2+\frac {4}{x - 2})÷\frac {x^{3}}{x^{2}-4x + 4}$,其中 $x$ 是满足条件 $x\leqslant 2$ 的合适的非负整数。

答案： 【解】$(x+2+\frac{4}{x-2})÷\frac{x^{3}}{x^{2}-4x+4}$$=(\frac{x^{2}-4}{x-2}+\frac{4}{x-2})÷\frac{x^{3}}{(x-2)^{2}}$$=\frac{x^{2}}{x-2}\cdot\frac{(x-2)^{2}}{x^{3}}$$=\frac{x-2}{x}$.因为$x$是满足条件$x\leqslant2$的非负整数,所以$x=0,1$或$2$.因为$x\neq0$且$x-2\neq0$,所以$x\neq0$且$x\neq2$.所以$x=1$.所以原式$=\frac{1-2}{1}=-1$.

4. 先化简,再求值：$(1-\frac {3a - 10}{a - 2})÷\frac {a - 4}{a^{2}-4a + 4}$,其中 $a$ 与 $2$,$3$ 是三角形的三边长,且 $a$ 为整数。

答案： 【解】$(1-\frac{3a-10}{a-2})÷\frac{a-4}{a^{2}-4a+4}$$=\frac{a-2-3a+10}{a-2}\cdot\frac{(a-2)^{2}}{a-4}$$=\frac{-2(a-4)}{a-2}\cdot\frac{(a-2)^{2}}{a-4}$$=-2a+4$.因为$3-2\lt a\lt3+2$,所以$1\lt a\lt5$.又因为$a$为整数,所以$a=2,3$或$4$.又因为$a-2\neq0,a-4\neq0$,所以$a\neq2,a\neq4$.所以$a=3$.所以原式$=-2×3+4=-2$.

5. 如果 $m + n = 1$,那么代数式 $(\frac {2m + n}{m^{2}-mn}+\frac {1}{m})\cdot (m^{2}-n^{2})$ 的值为3。

答案： 3 【点拨】$(\frac{2m+n}{m^{2}-mn}+\frac{1}{m})\cdot(m^{2}-n^{2})=[\frac{2m+n}{m(m-n)}+\frac{1}{m}]\cdot(m+n)\cdot(m-n)=[\frac{2m+n}{m(m-n)}+\frac{m-n}{m(m-n)}]\cdot(m+n)(m-n)=\frac{3m}{m(m-n)}\cdot(m+n)(m-n)=3(m+n)$.当$m+n=1$时,原式$=3×1=3$.

6. 先化简,再求值：$(2a-\frac {12a}{a + 2})÷\frac {a - 4}{a^{2}+4a + 4}$,其中 $a$ 满足 $a^{2}+2a - 3 = 0$。

答案： 【解】$(2a-\frac{12a}{a+2})÷\frac{a-4}{a^{2}+4a+4}$$=(\frac{2a^{2}+4a}{a+2}-\frac{12a}{a+2})÷\frac{a-4}{(a+2)^{2}}$$=\frac{2a^{2}-8a}{a+2}\cdot\frac{(a+2)^{2}}{a-4}$$=\frac{2a(a-4)}{a+2}\cdot\frac{(a+2)^{2}}{a-4}$$=2a(a+2)$$=2(a^{2}+2a)$.因为$a^{2}+2a-3=0$,所以$a^{2}+2a=3$.所以原式$=2×3=6$.

7. 已知 $x$ 是不等式组 $\begin{cases}2(x - 1)\lt x + 1,\\5x + 3\geqslant 2x\end{cases} $ 的整数解,则 $\frac {2}{x^{2}+x}÷(1-\frac {x - 1}{x^{2}-1}) = $$\frac{1}{2}$。

答案： $\frac{1}{2}$【点拨】$\frac{2}{x^{2}+x}÷(1-\frac{x-1}{x^{2}-1})=\frac{2}{x(x+1)}÷\frac{x^{2}-1-x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2}{x(x+1)}\cdot\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}=\frac{2}{x^{2}}$.解不等式$2(x-1)\lt x + 1$,得$x\lt3$,解不等式$5x + 3\geqslant2x$,得$x\geqslant-1$,所以不等式组的解集为$-1\leqslant x\lt3$.因为$x$为整数,所以$x$的值可以为$-1,0,1,2$.又因为$x(x+1)\neq0,(x+1)(x-1)\neq0,x(x-1)\neq0$,所以$x$只能取$2$.所以当$x=2$时,原式$=\frac{2}{2^{2}}=\frac{1}{2}$.

8. 已知 $\frac {x - y}{y}= 2$,求 $(\frac {1}{x - y}+\frac {1}{x + y})÷\frac {x}{(x - y)^{2}}$ 的值。

答案： 【解】由$\frac{x-y}{y}=2$可知$x=3y$,所以$(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y})÷\frac{x}{(x-y)^{2}}$$=[\frac{x+y}{(x-y)(x+y)}+\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}]÷\frac{x}{(x-y)^{2}}$$=\frac{2x}{(x+y)(x-y)}×\frac{(x-y)^{2}}{x}$$=\frac{2(x-y)}{x+y}$$=\frac{2(3y-y)}{3y+y}$$=1$.