《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

17. 新考法 过程辨析法 王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的正平方根为 $2m - 6$,它的平方根为 $\pm (m - 2)$,求这个数。小张的解法如下：
解：依题意可知 $2m - 6$ 与 $m - 2$ 相等或与 $-(m - 2)$ 相等。
当 $2m - 6 = m - 2$ 时,解得 $m = 4$。
所以 $2m - 6 = 2×4 - 6 = 2$。所以这个数为 4。
当 $2m - 6 = -(m - 2)$ 时,解得 $m = \frac{8}{3}$。
所以 $2m - 6 = 2×\frac{8}{3} - 6 = -\frac{2}{3}$。
所以这个数为 $\frac{4}{9}$。
综上可得这个数为 4 或 $\frac{4}{9}$。
王老师看后说,小张的解法是错误的。你知道小张错在哪里吗？请给予改正。

答案： 【解】错在没有考虑正平方根是大于0的数.
改正:依题意可知$ 2m-6 $与$ m-2 $相等或与$ -(m-2) $相等.
当$ 2m-6 = m - 2 $时,解得$ m = 4 $.
所以$ 2m - 6 = 2×4 - 6 = 2 $.所以这个数为 4.
当$ 2m - 6 = -(m - 2) $时,解得$ m = \frac{8}{3} $.
因为$ 2m - 6 $是某数的正平方根,
所以$ 2m - 6＞0 $,解得$ m＞3 $.
所以$ m=\frac{8}{3} $不符合题意,舍去.
所以这个数为 4.

18. 为庆祝建校 30 周年,某校开展了 30 周年手抄报展览活动,为制作出精美的校庆主题展览作品,要求：用一张面积为 $400 cm^2$ 的正方形卡纸(如图),沿着边的方向裁出一张面积为 $300 cm^2$ 的长方形卡纸,用于制作展览作品的背景。
(1) 正方形卡纸的边长是20 cm；
(2) 嘉琪设计了一种方案：使长方形卡纸的长宽之比为 $5:3$,嘉琪能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸吗？若能,请你帮助嘉琪设计裁剪方案；若不能,请说明理由；
(3) 请你设计一种符合上面裁剪要求的方案：长方形卡纸的长是20 cm,宽是______15 cm。

答案： 【解】
(1)20
(2)不能,理由如下:
∵长方形卡纸的长宽之比为5:3,
∴设长方形卡纸的长为$ 5x\ cm $,则宽为$ 3x\ cm $.
∴$ 5x\cdot 3x=300 $,
∴$ 15x^{2}=300 $,
∴$ x^{2}=20 $,
∴$ x=\pm \sqrt{20}=\pm 2\sqrt{5} $.
又
∵$ x＞0 $,
∴$ x=2\sqrt{5} $,
∴长方形卡纸的长为$ 10\sqrt{5}\ cm $.
又
∵$ (10\sqrt{5})^{2}=500＞20^{2} $,即$ 10\sqrt{5}＞20 $,
∴嘉琪不能用这张卡纸裁出符合要求的长方形卡纸.
(3)20:15(答案不唯一)