《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 下列命题：
①若 $ a ＞ b + 1 $,则 $ a ＞ b $；
②若 $ ab = 0 $,则 $ a = 0 $ 或 $ b = 0 $；
③若 $ a = b $,则 $ |a| = |b| $；
④若 $ a ＞ b $,则 $ a^2 ＞ b^2 $.
其逆命题是真命题的有(A)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： A

2. 下列定理中,没有逆定理的是(C)
A.两直线平行,内错角相等
B.直角三角形两锐角互余
C.对顶角相等
D.同位角相等,两直线平行

答案： C

3. 母题 教材P42练习T1 如图,将标号为 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 的正方形沿图中的虚线剪开后,得到标号为 $ M $,$ N $,$ P $,$ Q $ 的四组图形,填空：
$ A $ 与M对应；$ B $ 与N对应；
$ C $ 与Q对应；$ D $ 与P对应.
]

答案： M;N;Q;P

4. 如图,点 $ D $,$ E $ 分别在线段 $ AB $,$ AC $ 上,$ CD $ 与 $ BE $ 相交于 $ O $ 点,已知 $ AB = AC $,现添加以下的哪个条件仍不能判定 $ \triangle ABE \cong \triangle ACD $？(D)

A.$ \angle B = \angle C $
B.$ AD = AE $
C.$ BD = CE $
D.$ BE = CD $
]

答案： D 【点拨】选项 A,当 AB=AC,∠A=∠A,∠B=∠C 时,△ABE≌△ACD(ASA),故此选项不符合题意;选项 B,当 AB=AC,∠A=∠A,AE=AD 时,△ABE≌△ACD(SAS),故此选项不符合题意;选项 C,由 AB=AC,BD=CE,得 AB - BD=AC - CE,即 AD=AE,所以易得△ABE≌△ACD(SAS),故此选项不符合题意;选项 D,当 AB=AC,∠A=∠A,BE=CD 时,不能判定△ABE 与△ACD 全等,故此选项符合题意.故选 D.

5. 如图,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle EBD $ 中,$ \angle ABC = \angle DBE = 90^\circ $,$ AB = CB $,$ BE = BD $,连接 $ AE $,$ CD $,$ AE $ 与 $ CD $ 交于点 $ M $,与 $ BC $ 交于点 $ N $.
(1)试说明：$ AE = CD $；
(2)试说明：$ AE \perp CD $.
]

答案： 【解】
(1)因为∠ABC=∠DBE,所以∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE,即∠ABE=∠CBD.在△ABE 和△CBD 中,AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD,所以△ABE≌△CBD.所以 AE=CD.
(2)因为△ABE≌△CBD,所以∠BAE=∠BCD.因为∠NMC=180°-∠BCD-∠CNM,∠ABC=180°-∠BAE-∠ANB,∠CNM=∠ANB,所以∠NMC=∠ABC=90°.所以 AE⊥CD.

6. 新考法 补短法 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ BA = BC $,$ \angle BAD + \angle BCD = 180^\circ $,$ \angle ABC = 2\angle MBN $,$ \angle MBN $ 的两边分别交 $ AD $,$ DC $ 于点 $ E $,$ F $.探究图中线段 $ AE $,$ CF $,$ EF $ 之间的数量关系.
]

答案：
【解】如图，延长 DC 到点 H,使 CH=AE,连接 BH.
因为∠BAD+∠BCD=180°,
∠BCH+∠BCD=180°,

所以∠BCH=∠BAD.
又因为 BC=BA,CH=AE,
所以△BCH≌△BAE(SAS).
所以 BE=HB,∠ABE=∠HBC.
所以∠HBE=∠ABC;
因为∠ABC=2∠MBN,所以∠HBE=2∠MBN,
所以∠HBF=∠EBF,
又因为 BF=BF,所以△HBF≌△EBF(SAS),
所以 EF=HF;所以 AE+CF=CH+CF=HF=EF.