《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

14. 已知$\sqrt{\dfrac{x - 6}{9 - x}}= \dfrac{\sqrt{x - 6}}{\sqrt{9 - x}}$,且$x$为奇数,求$(1 + x)\sqrt{\dfrac{x^{2}-5x + 4}{x^{2}-1}}$的值.

答案： 【解】
∵√((x-6)/(9-x))=√(x-6)/√(9-x)，
∴{x-6≥0，9-x＞0，解得6≤x＜9.又
∵x是奇数，
∴x=7.
∴(1+x)√((x²-5x+4)/(x²-1))=(1+x)√(((x-1)(x-4))/((x+1)(x-1)))=(1+x)√((x-4)/(x+1))=(1+7)×√((7-4)/(7+1))=8×√(3/8)=2√6.

15. 老师在黑板上写出下面的一道题：
已知$\sqrt{7}= a$,$\sqrt{70}= b$,用含$a$,$b的代数式表示\sqrt{4.9}$.两位同学在黑板上分别板书了自己的解答：
同学甲：$\sqrt{4.9}= \sqrt{\dfrac{49}{10}}= \sqrt{\dfrac{49×10}{10×10}}= \sqrt{\dfrac{490}{100}}= \dfrac{\sqrt{7×70}}{10}= \dfrac{\sqrt{7}×\sqrt{70}}{10}= \dfrac{ab}{10}$.
同学乙：$\sqrt{4.9}= \sqrt{\dfrac{49}{10}}= \sqrt{\dfrac{49×10}{10×10}}= \dfrac{7\sqrt{10}}{10}= \dfrac{7}{10}×\sqrt{\dfrac{70}{7}}= \dfrac{7}{10}×\dfrac{\sqrt{70}}{\sqrt{7}}= \dfrac{7b}{10a}$.
(1)你认为两位同学的解答都正确吗？
(2)同学丙得出的结果为$\dfrac{7a}{b}$.老师说是正确的,你知道丙是怎样做的吗？请你写出丙的解答过程.

答案： 【解】
(1)这两位同学的解答都正确.
(2)同学丙的过程：√4.9=√(49/10)=7√(1/10)=7√(7/70)=7√7/√70=7a/b.

16. 新考法猜想验证法 观察下列各式：
①$\sqrt{2^{2}-0^{2}} = 2$；
②$\sqrt{3^{2}-1^{2}} = 2\sqrt{2}$；
③$\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$；….
(1)第④个式子为$\sqrt{5^{2}-3^{2}}=2\sqrt{4}=4$；
(2)依题中规律,第$n$($n$为正整数)个式子为$\sqrt{(n+1)^{2}-(n-1)^{2}}=2\sqrt{n}$；
(3)证明(2)中式子成立；
(4)根据上述规律,若$\sqrt{a - b}= 2\sqrt{11}$,且$a$,$b$分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方,直接写出$a$,$b$的值.

答案：
(1)√(5²-3²)=2√4=4
(2)√((n+1)²-(n-1)²)=2√n
(3)【证明】
∵√((n+1)²-(n-1)²)=√(n²+2n+1-(n²-2n+1))=√(n²+2n+1-n²+2n-1)=√(4n)=2√n，
∴√((n+1)²-(n-1)²)=2√n.
(4)【解】a=144，b=100.【点拨】
∵√(a-b)=2√11，a，b分别为三个连续自然数中最大数和最小数的平方，根据
(3)中规律可知n=11，
∴a=(n+1)²=(11+1)²=144，b=(n-1)²=(11-1)²=100.