《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 27^{\circ} $,点 D 在 AC 的垂直平分线上,将 $ \triangle ABD $ 沿 AD 翻折后,使点 B 落在点 $ B_1 $ 处,线段 $ B_1D $ 与 AC 相交于点 E,则 $ \angle CED = $ 81°.

答案： 81° 【点拨】
∵点 D 在 AC 的垂直平分线上，
∴易证得∠DAC=∠C=27°.
∴∠ADB=∠C+∠DAC=54°.
∵将△ABD 沿 AD 翻折后，使点 B 落在点 B₁处，
∴∠ADB₁=∠ADB=54°.
∵∠ADB+∠ADB₁+∠CDE=180°，
∴∠CDE=72°，
∴∠CED=180°-∠C-∠CDE=81°.

12. 如图,$ AB \perp BC $,$ DC \perp BC $,垂足分别为 B,C,$ \angle BAD $ 和 $ \angle ADC $ 的平分线恰好相交于 BC 边上的 E 点,$ AD = 9 $,$ BE = 4 $,则四边形 AB-CD 的面积为 36.

答案： 36

13. (10 分)如图,D,E,F 分别是 $ \triangle ABC $ 三边上的点,$ CE = BF $,$ \triangle DCE $ 和 $ \triangle DBF $ 的面积相等. 求证：AD 平分 $ \angle BAC $.

答案： 【证明】过点 D 作 DH⊥AB 于点 H，DG⊥AC 于点 G.
∴$S_{△DCE}$= $\frac{1}{2}$CE·DG，$S_{△DBF}$= $\frac{1}{2}$BF·DH.
∵$S_{△DCE}$= $S_{△DBF}$，
∴$\frac{1}{2}$CE·DG= $\frac{1}{2}$BF·DH.又
∵CE=BF，
∴DG=DH.
∴点 D 在∠BAC 的平分线上，即 AD 平分∠BAC.

14. (12 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,AD 垂直平分 BC,点 E 在 BC 的延长线上,且满足 $ AB + BD = DE $,求证：点 C 在线段 AE 的垂直平分线上.

答案： 【证明】
∵AD 垂直平分 BC，
∴BD=DC，AB=AC.又
∵AB+BD=DE，
∴AC+DC=DE.又
∵DE=DC+CE，
∴AC=CE.
∴点 C 在线段 AE 的垂直平分线上.

15. (12 分)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle BAC = 90^{\circ} $,$ AD \perp BC $,垂足为 D,求作 $ \angle ABC $ 的平分线,分别交 AD,AC 于 P,Q 两点,并证明 $ AP = AQ $.(要求：尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

答案：
【解】如图，BQ 就是∠ABC 的平分线.证明：如图，过点 A 作 AM⊥PQ 于点 M，则∠AMP=∠AMQ=90°.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°.
∴∠BPD+∠PBD=90°.
∵∠BAC=90°，
∴∠AQP+∠ABQ=90°.
∵∠ABQ=∠PBD，
∴∠BPD=∠AQP.
∵∠BPD=∠APQ，
∴∠APQ=∠AQP.在△APM 和△AQM 中，$\begin{cases} ∠APM=∠AQM, \\ ∠AMP=∠AMQ, \\ AM=AM, \end{cases}$
∴△APM≌△AQM(AAS).
∴AP=AQ.

16. (14 分)(1)如图①,BD 平分 $ \angle ABC $,$ DE \perp AB $ 于点 E,$ \triangle ABC $ 的面积等于 90,$ AB = 18 $,$ BC = 12 $,求 DE 的长；
(2)利用(1)题的方法解答：如图②,已知 $ \angle 1 = \angle 2 $,求证：$ \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD} $.

答案：
（1）【解】如图①，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F.
∵BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF.又
∵AB=18，BC=12，
∴$S_{△ABC}$= $S_{△ABD}$+ $S_{△BCD}$= $\frac{1}{2}$×18·DE+ $\frac{1}{2}$×12·DF= $\frac{1}{2}$DE·(18+12)=15·DE.
∵△ABC 的面积等于 90，
∴15·DE=90.
∴DE=6.
（2）【证明】如图②，过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于点 N，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，则$S_{△ABD}$= $\frac{1}{2}$AB·DM= $\frac{1}{2}$BD·AE，$S_{△ACD}$= $\frac{1}{2}$AC·DN= $\frac{1}{2}$CD·AE.
∵∠1=∠2，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN.
∴$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}$= $\frac{\frac{1}{2}AB·DM}{\frac{1}{2}AC·DN}$= $\frac{AB}{AC}$，$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}$= $\frac{\frac{1}{2}BD·AE}{\frac{1}{2}CD·AE}$= $\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB}{AC}$= $\frac{BD}{CD}$.