《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

13. 已知：$A= xy-x^{2}$,$B= \frac {x^{2}-2xy+y^{2}}{xy}$,$C= \frac {x^{2}}{x-y}$,若$A÷B= C×D$,求 D。

答案： 【解】$\because A÷ B=C× D$，$A=xy-x^2=x(y-x)$，$B=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}$，$C=\frac{x^2}{x-y}$，$\therefore x(y-x)÷ \frac{(x-y)^2}{xy}=\frac{x^2}{x-y}× D$，$\therefore D=x(y-x)× \frac{xy}{(x-y)^2}× \frac{x-y}{x^2}=-y$.

14. 情境题 生活应用 涪陵是举世闻名的“榨菜之乡”,今年榨菜更是喜获丰收。为了选育更好的榨菜品种,农民伯伯们开始自己建试验田,如图,王大伯家的试验田是边长为 a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为 1 m 的正方形蓄水池后余下的部分,李大爷家试验田是边长为$(a-1)m$的正方形,两块试验田的榨菜最后都分别收获了 1000 kg。
(1)哪家的榨菜品种单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？

答案： 【解】
(1)王大伯家试验田的面积是$(a^2-1)m^2$，则单位面积产量为$\frac{1000}{a^2-1}kg/m^2$. 李大爷家试验田的面积是$(a-1)^2m^2$，则单位面积产量为$\frac{1000}{(a-1)^2}kg/m^2$. $\because a＞1$，$\therefore a^2-1-(a-1)^2=a^2-1-a^2-1+2a=2(a-1)＞0$. $\therefore a^2-1＞(a-1)^2$. $\therefore \frac{1000}{a^2-1}kg/m^2＜\frac{1000}{(a-1)^2}kg/m^2$，$\therefore$李大爷家的榨菜品种单位面积产量高.
(2)$\frac{1000}{(a-1)^2}÷ \frac{1000}{a^2-1}=\frac{1000}{(a-1)^2}\cdot \frac{a^2-1}{1000}=\frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2}=\frac{a+1}{a-1}$，$\therefore$高的单位面积产量是低的单位面积产量的$\frac{a+1}{a-1}$倍.

15. 新考法 发现规律法 观察下列各式：$(x≠0)$
$(\frac {1}{x}-1)(\frac {1}{x}+1)= \frac {1}{x^{2}}-1$,
$(\frac {1}{x}-1)(\frac {1}{x^{2}}+\frac {1}{x}+1)= \frac {1}{x^{3}}-1$,
$(\frac {1}{x}-1)(\frac {1}{x^{3}}+\frac {1}{x^{2}}+\frac {1}{x}+1)= \frac {1}{x^{4}}-1$。
(1)根据上面的算式及你发现的规律填空：
$(\frac {1}{x}-1)(\frac {1}{x^{7}}+\frac {1}{x^{6}}+\frac {1}{x^{5}}+\frac {1}{x^{4}}+\frac {1}{x^{3}}+\frac {1}{x^{2}}+\frac {1}{x}+1)= $$\frac{1}{x^8}-1$；
(2)用数学的整体思想方法,设$\frac {1}{x}= m$,分解因式：$(m^{7}+m^{6}+m^{5}+m^{4}+m^{3}+m^{2}+m+1)(m≠1)$；
(3)已知$1+2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}+2^{6}+2^{7}= a\cdot b\cdot c\cdot d$,a,b,c,d 都是正整数,且$a＞b＞c＞d$。求$(-\frac {b}{cd})^{2}÷(-\frac {5b}{17c})×\frac {6d}{a}$的值。
(2)由(1)易得$m^7+m^6+m^5+m^4+m^3+m^2+m+1=\frac{m^8-1}{m-1}=\frac{(m^4-1)(m^4+1)}{m-1}=\frac{(m^2-1)(m^2+1)(m^4+1)}{m-1}=\frac{(m-1)(m+1)(m^2+1)(m^4+1)}{m-1}=(m+1)(m^2+1)(m^4+1)$.(3)由(2)知$m^7+m^6+m^5+m^4+m^3+m^2+m+1=(m+1)\cdot (m^2+1)(m^4+1)$，$\therefore$当$m=2$时，得$2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1=(2+1)\cdot (2^2+1)\cdot (2^4+1)=3× 5× 17$. $\because 1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7=a\cdot b\cdot c\cdot d$，$\therefore a\cdot b\cdot c\cdot d=3× 5× 1× 17$. 又$\because a$，$b$，$c$，$d$都是正整数，且$a＞b＞c＞d$，$\therefore a=17$，$b=5$，$c=3$，$d=1$. $\therefore \left(-\frac{b}{cd}\right)^2÷ \left(-\frac{5b}{17c}\right)× \frac{6d}{a}=\frac{b^2}{c^2d^2}× \left(-\frac{17c}{5b}\right)× \frac{6d}{a}=-\frac{17× 6b}{5acd}=-\frac{17× 6× 5}{5× 17× 3× 1}=-2$.

答案： 【解】
(1)$\frac{1}{m^8}-1$
(2)由
(1)易得$m^7+m^6+m^5+m^4+m^3+m^2+m+1=\frac{m^8-1}{m-1}=\frac{(m^4-1)(m^4+1)}{m-1}=\frac{(m^2-1)(m^2+1)(m^4+1)}{m-1}=\frac{(m-1)(m+1)(m^2+1)(m^4+1)}{m-1}=(m+1)(m^2+1)(m^4+1)$.
(3)由
(2)知$m^7+m^6+m^5+m^4+m^3+m^2+m+1=(m+1)\cdot (m^2+1)(m^4+1)$，$\therefore$当$m=2$时，得$2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1=(2+1)\cdot (2^2+1)\cdot (2^4+1)=3× 5× 17$. $\because 1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7=a\cdot b\cdot c\cdot d$，$\therefore a\cdot b\cdot c\cdot d=3× 5× 1× 17$. 又$\because a$，$b$，$c$，$d$都是正整数，且$a＞b＞c＞d$，$\therefore a=17$，$b=5$，$c=3$，$d=1$. $\therefore \left(-\frac{b}{cd}\right)^2÷ \left(-\frac{5b}{17c}\right)× \frac{6d}{a}=\frac{b^2}{c^2d^2}× \left(-\frac{17c}{5b}\right)× \frac{6d}{a}=-\frac{17× 6b}{5acd}=-\frac{17× 6× 5}{5× 17× 3× 1}=-2$.