《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 设 $ A $,$ B $ 都是整式,若 $ \dfrac{A}{B} $ 表示分式,则(C)
A.$ A $,$ B $ 都必须含有字母
B.$ A $ 必须含有字母
C.$ B $ 必须含有字母
D.$ A $,$ B $ 都不必须含有字母

答案： C

2. 若分式 $ \dfrac{2x}{|x|-2} $ 有意义,则分式 $ \dfrac{2x}{x+2} $(A)
A.有意义
B.无意义
C.值为0
D.值不为0

答案： A

3. 在分式① $ \dfrac{b - a}{a + b} $；② $ - \dfrac{b - a}{a - b} $；③ $ \dfrac{b - a}{-a - b} $；④ $ - \dfrac{a - b}{-a - b} $ 中,与 $ \dfrac{a - b}{a + b} $ 相等的是(C)
A.①②
B.②④
C.③④
D.①③

答案： C

4. 如果 $ A = \dfrac{2}{1 - a^{2}} $,$ B = \dfrac{1}{a - 1} - \dfrac{1}{a + 1} $,那么代数式 $ A $ 与 $ B $ 之间的关系是(A)
A.$ A + B = 0 $
B.$ A = B $
C.$ AB = 0 $
D.$ A = 2B $

答案： A

5. [2024 陕西] 化简：$ \left( \dfrac{2}{a - 1} - \dfrac{a}{a^{2} - 1} \right) ÷ \dfrac{a + 2}{a + 1} $.

答案： 【解】原式$=\left[\frac{2(a+1)}{(a+1)(a-1)}-\frac{a}{(a+1)(a-1)}\right]\cdot \frac{a+1}{a+2}$
$=\frac{a+2}{(a+1)(a-1)}\cdot \frac{a+1}{a+2}$
$=\frac{1}{a-1}.$

6. [2024 达州] 先化简：$ \left( \dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{x}{x + 2} \right) ÷ \dfrac{x^{2} + x}{x^{2} - 4} $,再从 $ -2 $,$ -1 $,$ 0 $,$ 1 $,$ 2 $ 之中选择一个合适的数作为 $ x $ 的值代入求值.

答案： 【解】$\left(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2}\right)÷ \frac{x^{2}+x}{x^{2}-4}$
$=\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x-2)(x+2)}÷ \frac{x(x+1)}{(x-2)(x+2)}$
$=\frac{x^{2}+2x-x^{2}+2x}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}$
$=\frac{4x}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{(x-2)(x+2)}{x(x+1)}$
$=\frac{4}{x+1}.$
∵分式有意义，
∴$\left\{\begin{array}{l}(x+2)(x-2)\neq 0,\\ x(x+1)\neq 0,\end{array}\right.$
∴$x\neq \pm 2$且$x\neq 0$且$x\neq -1.$
∴当$x=1$时，原式$=\frac{4}{1+1}=2.$

7. [2024 日照] 先化简,再求值：$ \left( \dfrac{x + 3}{x^{2} - x} - \dfrac{x}{x^{2} - 2x + 1} \right) ÷ \dfrac{2x - 3}{x} $,其中 $ x $ 满足 $ x^{2} - 2x - 1 = 0 $.

答案： 【解】$\left(\frac{x+3}{x^{2}-x}-\frac{x}{x^{2}-2x+1}\right)÷ \frac{2x-3}{x}$
$=\left[\frac{x+3}{x(x-1)}-\frac{x}{(x-1)^{2}}\right]\cdot \frac{x}{2x-3}$
$=\left[\frac{(x+3)(x-1)}{x(x-1)^{2}}-\frac{x^{2}}{x(x-1)^{2}}\right]\cdot \frac{x}{2x-3}$
$=\frac{x^{2}+2x-3-x^{2}}{x(x-1)^{2}}\cdot \frac{x}{2x-3}$
$=\frac{1}{x^{2}-2x+1}.$
∵$x^{2}-2x-1=0$，
∴$x^{2}-2x=1,$
∴原式$=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$

8. [2025 邯郸月考] 把分式方程 $ \dfrac{2}{2x - 4} = \dfrac{3}{2x} $ 化为整式方程,则方程两边需同时乘(B)
A.$ 2x - 4 $
B.$ 2x(x - 2) $
C.$ 2x $
D.$ 2x(x - 4) $

答案： B

9. 若关于 $ x $ 的方程 $ \dfrac{x}{x - 1} - 2 = \dfrac{3m}{2x - 2} $ 的解为正数,则 $ m $ 的取值范围是(D)
A.$ m ＞ - \dfrac{2}{3} $
B.$ m ＜ \dfrac{4}{3} $
C.$ m ＞ - \dfrac{2}{3} $ 且 $ m \neq 0 $
D.$ m ＜ \dfrac{4}{3} $ 且 $ m \neq \dfrac{2}{3} $

答案： D

10. [2024·达州]若关于 $ x $ 的方程 $ \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{kx - 1}{x - 2} = 1 $ 无解,则 $ k $ 的值为-1 或 2.

答案： -1 或 2 【点拨】$\frac{3}{x-2}-\frac{kx-1}{x-2}=1$，去分母，得$3-kx+1=x-2$，即$(k+1)x=6.$原方程无解分两种情况：①当方程$(k+1)x=6$无解时$k+1=0$，
∴$k=-1$；②当方程$(k+1)x=6$的解为分式方程的增根时，$x=2$是该方程的解，
∴$2(k+1)=6$，
∴$k=2.$
∴当$k=-1$或$k=2$时，$\frac{3}{x-2}-\frac{kx-1}{x-2}=1$无解.

11. 解分式方程：
(1) $ \dfrac{3x}{x - 1} - 5 = \dfrac{x}{2x - 2} $；
(2) $ \dfrac{2}{x^{2} - 1} + \dfrac{x}{x - 1} = 1 $.

答案： 【解】
(1)原方程变形为$\frac{3x}{x-1}-5=\frac{x}{2(x-1)},$
方程两边都乘$2(x-1)$，得$6x-10(x-1)=x,$
解得$x=2$，经检验，$x=2$是原方程的根.
(2)去分母，得$2+x(x+1)=x^{2}-1,$
去括号，得$2+x^{2}+x=x^{2}-1,$
移项，合并同类项，得$x=-3,$
经检验，$x=-3$是原方程的根.