《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

13. (10 分)新视角 动手操作题 如图,已知$\angle \alpha和线段a$,用尺规作$\triangle ABC$,使$\angle ABC = \angle \alpha$,$\angle ACB = 2\angle \alpha$,$BC = a$(保留作图痕迹)。

答案：
【解】如图，△ABC即为所作的图形.

14. (12 分)如图,点$B$,$E$,$C$,$F$在同一条直线上,$AC与DE相交于点O$,$AC// DF$,$AB// DE$,$AB = DE$。
(1)若$BE = 1$,$EC = 3$,求$BF$的长；
(2)若$\angle BED = 115^{\circ}$,$\angle D = 80^{\circ}$,求$\angle ACB$的度数。

答案： 【解】（1）
∵点B，E，C，F在同一条直线上，AC//DF，AB//DE，
∴∠ACB=∠F，∠B=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠F，∠B=∠DEF，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF(AAS).
∴BC=EF.
∴BC-EC=EF-EC.
∴BE=CF.
∵BE=1，EC=3，
∴BF=BE+EC+CF=1+3+1=5.
（2）
∵∠BED=115°，∠D=80°，
∴∠F=∠BED-∠D=35°.
∴∠ACB=∠F=35°.

15. (12 分)已知$AD = AC$,$AB = AE$,$\angle DAB = \angle CAE$。
(1)如图①,试说明：$DE = BC$；
(2)如图②,设$BC与DE交于点O$,连接$AO$,在不添加任何辅助点的情况下,请直接写出图中所有的全等三角形(不包含(1)中的全等三角形)。

答案： 【解】（1）因为∠DAB=∠CAE，
所以∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE.
所以∠DAE=∠BAC.
在△DAE和△CAB中，AD=AC，∠DAE=∠BAC，AE=AB，
所以△DAE≌△CAB(SAS). 所以DE=CB.
（2）△AOB≌△AOE，△DAO≌△CAO，△DAB≌△CAE，△DBO≌△CEO.
【点拨】在△DAB和△CAE中，AD=AC，∠DAB=∠CAE，AB=AE，
所以△DAB≌△CAE(SAS).
所以∠DBA=∠CEA，DB=CE.
由（1）知△DAE≌△CAB，所以∠ABC=∠AED.
因为∠DBO=∠DBA+∠ABO，∠CEO=∠CEA+∠AEO，
所以∠DBO=∠CEO.
在△DBO和△CEO中，∠DOB=∠COE，∠DBO=∠CEO，BD=EC，
所以△DBO≌△CEO(AAS). 所以DO=CO，OB=OE.
在△DAO和△CAO中，AD=AC，AO=AO，DO=CO，
所以△DAO≌△CAO.
在△AOB和△AOE中，AB=AE，OB=OE，AO=AO，
所以△AOB≌△AOE.

16. (14 分)如图,$Rt\triangle ACB$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\triangle ABC的角平分线AD$,$BE相交于点P$,过$P作PF\perp AD交BC的延长线于点F$,交$AC于点H$。
(1)求$\angle APB$的度数；
(2)试说明：$\triangle ABP≌\triangle FBP$；
(3)试说明：$AH + BD = AB$。

答案： 【解】（1）在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
所以∠ABC+∠BAC=90°.
因为AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，所以∠CAD=∠PAB=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠PBF=∠PBA=$\frac{1}{2}$∠ABC.
所以∠PAB+∠PBA=$\frac{1}{2}$(∠BAC+∠ABC)=45°.
所以∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=180°-45°=135°.
（2）因为∠APB=135°，所以∠DPB=180°-∠APB=45°.
因为PF⊥AD，所以∠FPD=90°.
所以∠FPB=∠BPD+∠FPD=45°+90°=135°.
所以∠FPB=∠APB.
在△ABP和△FBP中，∠APB=∠FPB，BP=BP，∠ABP=∠FBP，
所以△ABP≌△FBP(ASA).
（3）因为△ABP≌△FBP，
所以∠F=∠BAD，AP=FP，AB=FB.
因为∠BAD=∠CAD，所以∠F=∠CAD.
在△APH和△FPD中，∠HAP=∠F，AP=FP，∠APH=∠FPD=90°，
所以△APH≌△FPD(ASA). 所以AH=FD.
因为FD+BD=BF，所以AH+BD=AB.