《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 学习了算术平方根后,我们知道：
(1)$\sqrt{a}(a\geqslant 0)$是非负数,那么$\sqrt{a}$有最小值吗？如果有,此时$a$为多少？最小值又是多少？
(2)当$a$取什么值时,$\sqrt{2a + 1} + 1$的值最小？请求出这个最小值.
(3)小王认为：当$x = m$时,$3 - \sqrt{1 - x}$有最大值,且最大值为$n$,你知道$m$,$n$的值分别为多少吗？

答案： 1.【解】
(1)$\sqrt{a}$有最小值,当$a=0$时,最小值是0.
(2)$\because \sqrt{2a+1}\geqslant 0$,$\therefore$当$a=-\dfrac{1}{2}$时,$\sqrt{2a+1}$有最小值,最小值是0,则$\sqrt{2a+1}+1$的最小值是1.
(3)当$1-x=0$,即$x=1$时,$3-\sqrt{1-x}$有最大值,且最大值为3,$\therefore m=1$,$n=3$.

2. 已知$\sqrt{2x - 4}与|x - 3y - 3.5|$互为相反数,求$(xy)^{2025}$.

答案： 2.【解】$\because \sqrt{2x-4}$与$|x-3y-3.5|$互为相反数,$\therefore \sqrt{2x-4}+|x-3y-3.5|=0$.$\therefore 2x-4=0$,$x-3y-3.5=0$.$\therefore x=2$,$y=-\dfrac{1}{2}$.$\therefore (xy)^{2025}=\left \lbrack 2×\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right\rbrack^{2025}=(-1)^{2025}=-1$.

3. 已知：实数$a$,$b满足|a + 2| + \sqrt{b - 3} = 0$.
(1)$a = $$-2$,$b = $3；
(2)若一个正实数$m的两个平方根分别是2x + a和b - x$,求$x和m$的值.
【解】由题意可得$2x+a+b-x=0$,$\therefore x=-a-b$.由(1)知$a=-2$,$b=3$,$\therefore x=-1$.$\therefore b-x=3-(-1)=4$.$\therefore m=4^{2}=16$.

答案： 3.【解】
(1)$-2$;3 【点拨】$\because |a+2|+\sqrt{b-3}=0$,$\therefore a+2=0$,$b-3=0$.$\therefore a=-2$,$b=3$.
(2)由题意可得$2x+a+b-x=0$,$\therefore x=-a-b$.由
(1)知$a=-2$,$b=3$,$\therefore x=-1$.$\therefore b-x=3-(-1)=4$.$\therefore m=4^{2}=16$.

4. 已知正实数$x的两个平方根为a和a + b$.
(1)当$b = 6$时,$x$的值为9；
(2)若$a^{2}x + (a + b)^{2}x = 8$,求$x$的值.
【解】$\because$正实数$x$的两个平方根是$a$和$a+b$,$\therefore (a+b)^{2}=x$,$a^{2}=x$.又$\because a^{2}x+(a+b)^{2}x=8$,$\therefore x^{2}+x^{2}=8$.$\therefore x^{2}=4$.$\therefore x= \pm 2$.又$\because x＞0$,$\therefore x=2$.

答案： 4.【解】
(1)9 【点拨】$\because$正实数$x$的两个平方根是$a$和$a+b$,$\therefore a+a+b=0$.又$\because b=6$,$\therefore 2a+6=0$.$\therefore a=-3$.$\therefore x=9$.
(2)$\because$正实数$x$的两个平方根是$a$和$a+b$,$\therefore (a+b)^{2}=x$,$a^{2}=x$.又$\because a^{2}x+(a+b)^{2}x=8$,$\therefore x^{2}+x^{2}=8$.$\therefore x^{2}=4$.$\therefore x= \pm 2$.又$\because x＞0$,$\therefore x=2$.

5. 已知$|2a + b| + \sqrt{3b + 12} = 0$.
(1)求$2a - 3b$的平方根；
(2)解关于$x的方程ax^{2} + 4b - 2 = 0$.

答案： 5.【解】
(1)由题意,得$2a+b=0$,$3b+12=0$,解得$b=-4$,$a=2$.$\because 2a-3b=2× 2-3×(-4)=16$,$\therefore 2a-3b$的平方根为$\pm 4$.
(2)把$b=-4$,$a=2$代入方程,得$2x^{2}+4×(-4)-2=0$,即$x^{2}=9$,解得$x=3$或$x=-3$.