《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

14. 新考法 作差估算法 已知$a= 3+\sqrt {3},b= 3-\sqrt {3}$。
(1)求$a^{2}+b^{2}-3ab$的值；
(2)若m为a的整数部分,n为b的小数部分,求$\frac {1}{m-n}$的值。

答案： 【解】
(1)$\because a=3+\sqrt{3},b=3-\sqrt{3}$,$\therefore a-b=2\sqrt{3},ab=6$.$\therefore a^{2}+b^{2}-3ab=(a-b)^{2}-ab=(2\sqrt{3})^{2}-6=12-6=6$.
(2)$\because m$为$a$的整数部分,$n$为$b$的小数部分,$a=3+\sqrt{3}$,$b=3-\sqrt{3}$,$\therefore$易得$m=4,n=2-\sqrt{3}$.$\therefore \frac{1}{m-n}=\frac{1}{4-2+\sqrt{3}}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$.

15. 情境题 生活应用 如图,某校有一块形状为正方形的绿地,其边长为$(\sqrt {50}+2)m$,现要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛,每个花坛的长为$(\sqrt {7}+1)m$、宽为$(\sqrt {7}-1)m$,除去修建花坛的地方,其他地方全部修建成通道。
(1)求通道的总面积；
(2)若要在通道上铺设造价为8元$/m^{2}$的地砖,如果要铺完整个通道,那么购买地砖需要花费多少元(参考数据：$\sqrt {2}\approx 1.41$)?

答案： 【解】
(1)由题意得,通道的总面积为$(\sqrt{50}+2)^{2}-4× (\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)$$=50+4+4\sqrt{50}-4× 6$$=(30+20\sqrt{2})(m^{2})$.
(2)由
(1)可知,通道的总面积为$(30+20\sqrt{2})m^{2}$.$\therefore$购买地砖需要花费$8× (30+20\sqrt{2})=240+160\sqrt{2}\approx 240+160× 1.41=465.6$(元).

16. 新考法 阅读类比法 如何将双重二次根式$\sqrt {a\pm 2\sqrt {b}}(a＞0,b＞0,a\pm 2\sqrt {b}＞0)$化简呢？如果能找到两个数$m,n(m＞0,n＞0)$,使得$(\sqrt {m})^{2}+(\sqrt {n})^{2}= a$,即$m+n= a$,且使$\sqrt {m}\cdot \sqrt {n}= \sqrt {b}$,即$m\cdot n= b$,那么$a\pm 2\sqrt {b}= (\sqrt {m})^{2}+(\sqrt {n})^{2}\pm 2\sqrt {m}\cdot \sqrt {n}= (\sqrt {m}\pm \sqrt {n})^{2}$,$\therefore \sqrt {a\pm 2\sqrt {b}}= |\sqrt {m}\pm \sqrt {n}|$,双重二次根式得以化简。
例如：化简：$\sqrt {3\pm 2\sqrt {2}}$。因为$3= 1+2$,且$2= 1×2$,$\therefore 3\pm 2\sqrt {2}= (\sqrt {1})^{2}+(\sqrt {2})^{2}\pm 2\sqrt {1}×\sqrt {2}$。$\therefore \sqrt {3\pm 2\sqrt {2}}= |1\pm \sqrt {2}|$。
由此对于任意一个双重二次根式只要可以将其化成$\sqrt {a\pm 2\sqrt {b}}$的形式,且能找到$m,n(m＞0,n＞0)$,使得$m+n= a$,且$m\cdot n= b$,那么这个双重二次根式一定可以化简。
请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题：
(1)填空：$\sqrt {12\pm 2\sqrt {35}}=$$\sqrt{7}\pm \sqrt{5}$；
(2)化简：$\sqrt {9\pm 6\sqrt {2}}$；
(3)计算：$\sqrt {3-\sqrt {5}}+\sqrt {2\pm \sqrt {3}}$。
(2)$\sqrt{9\pm 6\sqrt{2}}=\sqrt{9\pm 2\sqrt{18}}=\sqrt{(\sqrt{6}\pm \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}\pm \sqrt{3}$.(3)$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$$=\sqrt{3-2\sqrt{\frac{5}{4}}}+\sqrt{2+2\sqrt{\frac{3}{4}}}$$=\sqrt{(\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}}$$=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$$=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$,同理可得$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2}$.

答案： 【解】
(1)$\sqrt{7}\pm \sqrt{5}$
(2)$\sqrt{9\pm 6\sqrt{2}}=\sqrt{9\pm 2\sqrt{18}}=\sqrt{(\sqrt{6}\pm \sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}\pm \sqrt{3}$.
(3)$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$$=\sqrt{3-2\sqrt{\frac{5}{4}}}+\sqrt{2+2\sqrt{\frac{3}{4}}}$$=\sqrt{(\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}}+\sqrt{(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}})^{2}}$$=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}$$=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}$,同理可得$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{6}-2\sqrt{2}}{2}$.