《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 计算：
(1) $(2\sqrt{48} - 3\sqrt{27}) ÷ \sqrt{3}$；
(2) $\sqrt{2} × (\sqrt{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{\sqrt{18} - \sqrt{8}}{\sqrt{2}}$；
(3) $\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + (3 - 2\sqrt{3}) ÷ \sqrt{3}$。

答案： 1.【解】
(1)原式=(8√3-9√3)÷√3=-√3÷√3=-1.
(2)原式=2+1-3√2-2√2/√2=3-√2/√2=3-1=2.
(3)原式=2-√3+√3-2=0.

2. 计算：
(1) $(\sqrt{2} - 1)^2 - (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})$；
(2) $(-4 - \sqrt{5})(-4 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{2})^2$；
(3) $(2 - \sqrt{3})^{2024}(2 + \sqrt{3})^{2025} - 2 × \left| -\frac{\sqrt{3}}{2} \right|$。

答案： 2.【解】
(1)原式=3-2√2-(5-3)=3-2√2-2=1-2√2.
(2)原式=16-5-(9-6√2+2)=16-5-9+6√2-2=6√2.
(3)原式=[(2-√3)(2+√3)]²⁰²⁴×(2+√3)-2×√3/2=1²⁰²⁴×(2+√3)-2×√3/2=2+√3-√3=2.

3. 已知 $a$,$b$ 分别是 $4 + \sqrt{3}$ 的整数部分和小数部分。
(1) 分别求出 $a$,$b$ 的值；
(2) 求 $b^2 + 2a$ 的值。

答案： 3.【解】
(1)
∵1＜√3＜2,
∴5＜4+√3＜6,
∴a=5,b=√3-1.
(2)
∵a=5,b=√3-1,
∴b²+2a=(√3-1)²+2×5=4-2√3+10=14-2√3.
♨点方法 确定二次根式的整数部分和小数部分,先采用放缩法确定二次根式的整数部分,然后确定小数部分(取二次根式与整数部分的差),即由n＜√x＜n+1(x开方开不尽,n为非负整数)可以确定√x的整数部分为n,小数部分为√x-n.

4. 已知 $x = 1 - \sqrt{2}$,$y = 1 + \sqrt{2}$,求 $x^2 + y^2 - xy - 2x + 2y$ 的值。

答案： 4.【解】
∵x=1-√2,y=1+√2,
∴x-y=(1-√2)-(1+√2)=-2√2,xy=(1-√2)(1+√2)=-1.
∴x²+y²-xy-2x+2y=(x-y)²-2(x-y)+xy=(-2√2)²-2×(-2√2)+(-1)=7+4√2.

5. 已知 $x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$,求 $\frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}$ 的值。

答案： 5.【解】易知x≠0.将原式取倒数,得x⁴+x²+1/x²=x²+1/x²+1=(x+1/x)²-1=(√5)²-1=4,
∴原式=1/4.
♨点方法 本题对所求式取倒数并化简后,可将x+1/x的值代入计算,大大简化了计算过程.