《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 已知等腰三角形 $ABC$ 的周长为 $18$,$BC = 8$,若 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$,则 $\triangle DEF$ 的边 $DE$ 的长度为(D)
A.$8$
B.$2$ 或 $5$ 或 $7$
C.$5$ 或 $8$
D.$2$ 或 $5$ 或 $8$

答案： D

2. [2025 石家庄桥西区月考] 一个等腰三角形的两条边分别为 $m$ 和 $n$,且满足 $|m - 4| + \sqrt{n - 6} = 0$,则等腰三角形的周长等于14或16。

答案： 14或16

3. 用一条长 $20\ cm$ 的细绳围成一个等腰三角形,若一边长是另一边长的 $2$ 倍,求该三角形底边的长。

答案： 【解】设较短的边长为x cm,则较长的边长为2x cm,若较短的边为底边,较长的边为腰,则x+2x+2x=20,解得x=4,此时三角形的三边长分别为4 cm,8 cm,8 cm,能组成三角形；若较长的边为底边,较短的边为腰,则2x+x+x=20,解得x=5,此时三角形的三边长分别为5 cm,5 cm,10 cm,不满足三角形任意两边之和大于第三边,故不能组成三角形.综上所述,该三角形底边的长为4 cm.

4. 已知在等腰三角形 $ABC$ 中,$\angle A = 50^{\circ}$,则 $\angle B$ 的度数为(D)
A.$50^{\circ}$
B.$65^{\circ}$
C.$50^{\circ}$ 或 $65^{\circ}$
D.$50^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 或 $65^{\circ}$

答案： D 【点拨】当∠A为顶角时,∠B=$\frac{180° - ∠A}{2}$=65°;当∠B为顶角时,∠B=180° - 2∠A=80°;当∠A,∠B为底角时,∠B=∠A=50°.综上,∠B的度数为50°或80°或65°.

5. 在一个等腰三角形中,有两个内角的度数比是 $2:5$,则它的三个内角可能是(C)
A.$30^{\circ}$,$30^{\circ}$,$120^{\circ}$
B.$50^{\circ}$,$50^{\circ}$,$80^{\circ}$
C.$75^{\circ}$,$75^{\circ}$,$30^{\circ}$
D.$80^{\circ}$,$80^{\circ}$,$20^{\circ}$

答案： C 【点拨】因为两个内角的度数比是2:5,所以设一个内角的度数是2x,另一个内角的度数是5x.因为三角形是等腰三角形,所以2x+2x+5x=180°或5x+5x+2x=180°,解得x=20°或x=15°,所以三个内角分别是40°,40°,100°或75°,75°,30°.故选C.

6. 已知在等腰三角形 $ABC$ 中,$\angle A$ 比 $\angle B$ 的 $2$ 倍少 $20^{\circ}$,求该三角形顶角的度数。

答案： 【解】设∠B=x,则∠A=2x - 20°.分三种情况讨论：①当∠B是顶角,∠A是底角时,x+2(2x - 20°)=180°,解得x=44°,所以顶角的度数是44°；②当∠B是底角,∠A是顶角时,2x+(2x - 20°)=180°,解得x=50°,所以顶角的度数是2×50° - 20°=80°；③当∠B与∠A都是底角时,x=2x - 20°,解得x=20°,所以顶角的度数是180° - 20°×2=140°.综上所述,该三角形顶角的度数是44°或80°或140°.

7. [2025 邯郸月考] 等腰三角形一边上的高与一腰所夹的锐角是 $50^{\circ}$,则该等腰三角形的顶角是( )
① 甲的结果是 $100^{\circ}$；
② 乙的结果是 $40^{\circ}$；
③ 丙的结果是 $140^{\circ}$。

A.甲、乙的结果合起来才对
B.乙、丙的结果合起来才对
C.甲、乙、丙的结果合起来才对
D.甲、乙、丙的结果合起来也不对

答案：
C 【点拨】①当等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为50°时,i.当等腰三角形为锐角三角形时,如图①,
∵AB=AC,BD⊥AC于点D,∠ABD=50°,
∴∠A=90° - 50°=40°;ii.当等腰三角形为钝角三角形时,如图②,
∵AB=AC,BD⊥AC于点D,∠ABD=50°,
∴∠DAB=90° - 50°=40°.
∴∠BAC=180° - 40°=140°.②当等腰三角形底边上的高与腰的夹角为50°时,如图③,
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,∠BAD=50°,
∴∠BAC=2∠BAD=100°.
∴甲、乙、丙的结果合起来才对.故选C.

8. 在等腰三角形中有一个角为 $40^{\circ}$,求腰上的高与底边的夹角的度数。

答案：
【解】当40°角为底角时,如图①.因为CA=CB,所以∠CAB=∠B=40°.过点A作AD⊥CB,交BC的延长线于点D,所以∠ADC=90°.所以∠DAB=90° - ∠B=50°； 当40°角为顶角时,如图②.因为CA=CB,所以∠CAB=∠B=$\frac{180° - 40°}{2}$=70°.过点A作AG⊥CB,交BC于点G,所以∠AGB=90°.所以∠GAB=90° - ∠B=20°.综上,腰上的高与底边的夹角为20°或50°.