《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

14. 已知$\vert5 - 3a\vert+(b + 2)^2+5 = 3a - \sqrt{(c - 5)b}$,则$c - 2b= $9。

答案： 9 【点拨】
∵|5-3a|+(b+2)²+5=3a-√((c-5)b)，
∴|5-3a|+(b+2)²+√((c-5)b)=3a-5.
∵|5-3a|≥0，(b+2)²≥0，√((c-5)b)≥0，
∴|5-3a|+(b+2)²+√((c-5)b)=3a-5≥0.
∴3a-5+(b+2)²+√((c-5)b)=3a-5.
∴(b+2)²+√((c-5)b)=0.
∴(b+2)²=√((c-5)b)=0.
∴b+2=0，(c-5)b=0.
∴b=-2，c=5.
∴c-2b=5-2×(-2)=9.

15. 直田七亩半,忘了长和短。记得立契时,长阔争一半。今问俊明公,此法如何算。意思是：有一块面积为7亩半的长方形田,忘了长与宽各是多少。只记得在立契约的时候说过,宽是长的一半。现在请你帮他算出它的长和宽各是多少步。(1亩$=240步^2$)

答案： 【解】设宽为x步，则长为2x步，依据题意，得2x·x=7.5×240，即x²=900.
∵x＞0，
∴x=30.
∴2x=60. 答：它的长和宽各是60步，30步.

16. 我们知道,负数没有算术平方根,但对于三个互不相等的负整数,若两两乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“完美组合数”。例如：-1,-4,-9这三个数,$\sqrt{(-9)×(-4)} = 6$,$\sqrt{(-9)×(-1)} = 3$,$\sqrt{(-4)×(-1)} = 2$,其结果6,3,2都是整数,∴-1,-4,-9这三个数称为“完美组合数”。
(1)-3,-12,-27这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由。
(2)若三个数-5,$m$,-20是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为15,求$m$的值。

答案： 【解】
(1)-3，-12，-27这三个数是“完美组合数”. 理由：
∵-3，-12，-27这三个数是互不相等的负整数，且√((-3)×(-12))=6，√((-3)×(-27))=9，√((-12)×(-27))=18，其结果6，9，18都是整数，
∴-3，-12，-27这三个数是“完美组合数”.
(2)若-5，m这两个数乘积的算术平方根为15，则-5m=225，解得m=-45. 易知-5，-45，-20是“完美组合数”. 若m，-20这两个数乘积的算术平方根为15，则-20m=225，解得m=-11.25(不是整数，舍去). 综上所述，m=-45.

17. 先观察下列等式,再回答问题：
①$\sqrt{1 + \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}} = 1 + \frac{1}{1}-\frac{1}{1 + 1}= 1\frac{1}{2}$；
②$\sqrt{1 + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}} = 1 + \frac{1}{2}-\frac{1}{2 + 1}= 1\frac{1}{6}$；
③$\sqrt{1 + \frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}} = 1 + \frac{1}{3}-\frac{1}{3 + 1}= 1\frac{1}{12}$。
(1)根据上述三个等式提供的信息,请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律,试写出第$n$个等式($n$为正整数)；
(3)对任何实数$a可用[a]表示不超过a$的最大整数,如$[4]= 4$,$[\sqrt{3}]= 1$,计算：$[\sqrt{1 + \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1 + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1 + \frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+…+\sqrt{1 + \frac{1}{2025^2}+\frac{1}{2026^2}}]$的值。

答案： 【解】
(1)
∵第一个等式为√(1+1/1²+1/2²)=1+1/1-1/(1+1)=11/2；第二个等式为√(1+1/2²+1/3²)=1+1/2-1/(2+1)=11/6；第三个等式为√(1+1/3²+1/4²)=1+1/3-1/(3+1)=11/12；故根据规律可猜想第五个等式为√(1+1/5²+1/6²)=1+1/5-1/(5+1)=11/30.
(2)根据
(1)中的规律可得：第n个等式为√(1+1/n²+1/(n+1)²)=1+1/n-1/(n+1)=1+1/(n(n+1)).
(3)[√(1+1/1²+1/2²)+√(1+1/2²+1/3²)+√(1+1/3²+1/4²)+…+√(1+1/2025²+1/2026²)]=[11/2+11/6+11/12+…+11/(2025×2026)]=[1×2025+1-1/2+1/2-1/3+…+1/2025-1/2026]=[20252025/2026]=2025.