《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

13. 把两个半径分别为 $1$ cm 和 $\sqrt[3]{7}$ cm 的铅球熔化后做成一个更大的铅球, 则这个大铅球的半径是2cm(球的体积公式 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$, 其中 $r$ 是球的半径).

答案： 2 【点拨】$\frac{4}{3}\pi × 1{}^{3}+\frac{4}{3}\pi × (\sqrt[{3}]{7}){}^{3}=\frac{32}{3}\pi (\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{3})$，$\therefore$大
铅球的半径为$\sqrt[{3}]{\frac{32}{3}\pi × \frac{3}{4}÷ \pi }=2(\mathrm{c}\mathrm{m}).$

14. 新考法
程序计算法 根据下面的运算程序:

若输入一个正数 $x$ 时, 输出 $y$ 的值是 $12$, 则输入的 $x$ 的值是3或$\frac{5}{3}$.

答案： 3或$\frac{5}{3}$ 【点拨】当$0\leqslant x＜2$时，则$3x+7=12$，解得
$x=\frac{5}{3}$；当$x\geqslant 2$时，则$x{}^{3}-15=12$，解得$x=3.$综上所
述，输入的x的值是3或$\frac{5}{3}.$

15. $M$ 是个位数字不为零的两位数, 将 $M$ 的个位数字与十位数字互换后, 得另一个两位数 $N$, 若 $M - N$ 恰是某正整数的立方, 则这样的数共有6个.

答案： 6

16. [情境题 智力游戏] 魔方, 又叫魔术方块, 也称鲁比克方块, 是匈牙利建筑学教授厄尔诺·鲁比克在 1974 年发明的. 魔方与中国人发明的“华容道”, 法国人发明的“独立钻石”一同被称为智力游戏界的三大不可思议. 如图是一个 $4$ 阶魔方, 又称“魔方的复仇”, 由四层完全相同的 $64$ 个小立方体组成, 体积为 $512 cm^3$. 求组成这个魔方的小立方体的表面积.

答案： 【解】$\because$魔方由四层完全相同的64个小立方体组成，
体积为$512\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{3}$，
$\therefore$每个小立方体的体积为$512÷ 64=8(\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{3})$，
$\therefore$每个小立方体的棱长为$\sqrt[{3}]{8}=2(\mathrm{c}\mathrm{m})$，
$\therefore$小立方体的表面积为$6× 2{}^{2}=24(\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2}).$
答：小立方体的表面积为$24\mathrm{c}\mathrm{m}{}^{2}.$

17. 新考法
阅读类比法 据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时, 看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题: 一个数是 $59319$, 求它的立方根. 华罗庚脱口而出, 邻座的乘客十分惊奇, 忙问计算的奥妙. 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗?
(1)【发现与思考】
$\because 10^3 = 1000, 100^3 = 1000000$,
$1000 ＜ 59319 ＜ 1000000$,
$\therefore \sqrt[3]{59319}$ 是两位数.
$\because 59319$ 的个位数字是 $9$,
$\therefore \sqrt[3]{59319}$ 的个位数字是9.
$\because 30^3 = 27000, 40^3 = 64000$,
$\therefore \sqrt[3]{59319}$ 的十位数字是3.
$\therefore \sqrt[3]{59319} = $39.
(2)【运用并解决】
请类比上述的发现与思考, 推理求出 $110592$ 的立方根.
$\because 10{}^{3}=1000$，$100{}^{3}=1000000$，
$1000＜110592＜1000000$，
$\therefore \sqrt[{3}]{110592}$是两位数.
$\because 110592$的个位数字是2，
$\therefore \sqrt[{3}]{110592}$的个位数字是8.
$\because 50{}^{3}=125000$，$40{}^{3}=64000$，
$\therefore \sqrt[{3}]{110592}$的十位数字是4.$\therefore \sqrt[{3}]{110592}=48.$

答案： 【解】
(1)9；3；39
(2)$\because 10{}^{3}=1000$，$100{}^{3}=1000000$，
$1000＜110592＜1000000$，
$\therefore \sqrt[{3}]{110592}$是两位数.
$\because 110592$的个位数字是2，
$\therefore \sqrt[{3}]{110592}$的个位数字是8.
$\because 50{}^{3}=125000$，$40{}^{3}=64000$，
$\therefore \sqrt[{3}]{110592}$的十位数字是4.$\therefore \sqrt[{3}]{110592}=48.$