《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 如图,用直尺和圆规作一个已知角的平分线,能得出 $ \angle MOC = \angle NOC $ 的依据是(A)

A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
]

答案： A

2. 如图, $ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,且 $ AB:AC = 4:3 $,则 $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle ACD $ 的面积之比为(A)

A.$ 4:3 $
B.$ 16:9 $
C.$ 2:\sqrt{3} $
D.$ 9:4 $

答案： A

3. [2024 常州] 如图,在纸上画有 $ \angle AOB $,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点 $ P $ 在 $ \angle AOB $ 的平分线上,则(A)

A.$ d_{1} $ 与 $ d_{2} $ 一定相等
B.$ d_{1} $ 与 $ d_{2} $ 一定不相等
C.$ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 一定相等
D.$ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 一定不相等
]

答案： A

4. [2025 廊坊月考] 如图,点 $ O $ 在 $ \triangle ABC $ 内,且到三边的距离相等,连接 $ OB $,$ OC $,若 $ \angle OBC + \angle OCB = 60^{\circ} $,则 $ \angle A $ 的度数是(B)

A.$ 30^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 70^{\circ} $

答案： B 【点拨】
∵点 O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，
∴BO,CO 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线，
∴∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠OBC + ∠OCB = 60°，
∴∠OBC + ∠OCB = $\frac{1}{2}$(∠ABC + ∠ACB) = 60°，
∴∠ABC + ∠ACB = 120°，
∴∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 60°. 故选 B.

5. 新视角 动点探究题 如图,在三角形 $ ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ D $,且 $ AD = 2CD $,$ AC = 6 $,点 $ E $ 是 $ AB $ 上一动点,连接 $ DE $,则 $ DE $ 的最小值为2。
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答案： 2 【点拨】如图，当 DE⊥AB 时，DE 有最小值，
∵AD = 2CD，AC = 6，
∴CD = $\frac{1}{3}$AC = 2.
∵BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE = DC = 2，
∴DE 的最小值为 2.

6. 新视角 动手操作题 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $。
(1) 作 $ \triangle ABC $ 的角平分线交 $ AC $ 于点 $ D $(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)；
(2) 在 (1) 的条件下,若 $ CD = 3 $,$ AB + BC = 16 $,求 $ \triangle ABC $ 的面积。
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答案： 【解】
(1)如图，BD 即为∠ABC 的平分线.
(2)如图，过点 D 作 DH⊥AB 于点 H.
∵∠C = 90°，
∴DC⊥BC；
∵BD 平分∠ABC，DH⊥AB，
∴CD = DH = 3，
∴S△ABC = S△BCD + S△ABD = $\frac{1}{2}$BC·CD + $\frac{1}{2}$AB·DH = $\frac{1}{2}$×3BC + $\frac{1}{2}$×3AB = 24.

7. [2024 绵阳] 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = 5 $,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $ 交 $ BC $ 于点 $ D $,$ DE \perp AC $,垂足为 $ E $,$ \triangle ABD $ 的面积为 $ 5 $,则 $ DE $ 的长为(B)

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 5 $
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答案： B 【点拨】过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，如图，
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE = DF.
∵△ABD 的面积为 5，
∴$\frac{1}{2}$AB·DF = 5.
∵AB = 5，
∴DF = 2，
∴DE = 2. 故答案为 B.

8. 情境题 生活应用 如图,直线 $ a $,$ b $,$ c $ 表示三条公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)

A.一处
B.两处
C.三处
D.四处

答案： D

9. 如图,将 $ \triangle ABC $ 纸片沿 $ DE $ 折叠,点 $ A $ 落在点 $ A^{\prime} $ 处,恰好满足 $ BA^{\prime} $ 平分 $ \angle ABC $,$ CA^{\prime} $ 平分 $ \angle ACB $,若 $ \angle BA^{\prime}C = 125^{\circ} $,则 $ \angle BA^{\prime}D + \angle CA^{\prime}E $ 的度数为165°。
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答案： 165° 【点拨】
∵∠BA'C = 125°，
∴∠A'BC + ∠A'CB = 180° - 125° = 55°.
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠A'BC + ∠A'CB) = 110°.
∴∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 70°. 由折叠的性质得∠DA'E = ∠A = 70°.
∴∠BA'D + ∠CA'E = 360° - ∠BA'C - ∠DA'E = 165°.