《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 已知实数 $ x,y $ 满足 $ y＞\sqrt{x - 2}+\sqrt{2 - x}+4 $,化简：$ |3 - y|-\sqrt{y^{2}-2y + 1} $。

答案： 【解】
∵二次根式√(x-2)和√(2-x)有意义，
∴x-2≥0,2-x≥0,解得x=2.
∴y＞4.
∴|3-y|-√(y²-2y+1)=|3-y|-√((y-1)²)=
|3-y|-|y-1|=y-3-y+1=-2.

2. 新考法 以形助数法 已知实数 $ a,b $ 在数轴上对应点的位置如图所示。

(1) 化简：$ \sqrt{a^{2}}= $-a,$ \sqrt{(1 - b)^{2}}= $____1-b；
(2) 化简：$ \sqrt{(a + 1)^{2}}+\sqrt{b^{2}}-\sqrt{(a + b)^{2}} $。

答案： 【解】
(1)-a;1-b
(2)根据题图可知-2＜a＜-1,0＜b＜1，
∴a+1＜0,a+b＜0.
∴√((a+1)²)+√(b²)-√((a+b)²)
=|a+1|+|b|-|a+b|
=-a-1+b+a+b
=2b-1.

3. [2025上海宝山区月考] 已知 $ x,y $ 是实数,且 $ y= \frac{\sqrt{16 - x^{2}}+\sqrt{x^{2}-16}+2}{x - 4} $,求 $ \sqrt{xy} $ 的值。

答案： 【解】由题意可知，
{16-x²≥0,
{x²-16≥0
且x-4≠0,解得x=-4，
把x=-4代入y=(√(16-x²)+√(x²-16)+2)/(x-4)，
得y=-1/4,则√(xy)=√(4×1/4)=1.

4. 已知 $ a,b,c $ 满足 $ \sqrt{8 - a}+\sqrt{a - 8}= |c - 17|+b^{2}-30b + 225 $,求 $ a + b - c $ 的值。

答案： 【解】
∵√(8-a)+√(a-8)=|c-17|+b²-30b+225，
∴√(8-a)+√(a-8)=|c-17|+(b-15)².
∵8-a≥0,a-8≥0,
∴a=8.
∴|c-17|+(b-15)²=0.
∴c-17=0,b-15=0.
∴c=17,b=15.
∴a+b-c=8+15-17=6.

5. 新考法 分类讨论法 已知 $ a,b $ 为等腰三角形的两边长,且 $ a,b $ 满足 $ b= \sqrt{3 - a}+\sqrt{2a - 6}+4 $,求此三角形的周长。

答案： 【解】由题意得{3-a≥0,
{2a-6≥0
∴a=3.
∴b=4.
当a为腰长时,三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时,三角形的周长为4+4+3=11.
综上,此三角形的周长为10或11.

6. 已知三角形的三边长分别为 $ a,b,c $,其中 $ a,b $ 满足 $ a^{2}-12a + 36+\sqrt{b - 8}= 0 $。
(1) 求 $ a,b $ 的值；
(2) 设三角形的周长为 $ l $,$ l $ 为整数,且 $ \sqrt{20.5 - l}+\sqrt{l - 19.5} $ 有意义,判断该三角形的形状。

答案： 【解】
(1)
∵a²-12a+36+√(b-8)=0，
∴(a-6)²+√(b-8)=0.
∴a-6=0,b-8=0,解得a=6,b=8.
(2)
∵√(20.5-l)+√(l-19.5)有意义，
∴{20.5-l≥0,
{l-19.5≥0
解得19.5≤l≤20.5.
又
∵l为整数,
∴l=20.
∴c=l-a-b=20-6-8=6.
∴a=c.
∴该三角形为等腰三角形.