《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

11. 如图所示,B,D,E在同一条直线上,AB= AC,AD= AE,∠BAC= ∠DAE,若∠1= 34°,∠2= 22°,则∠3= 56°.

答案： 56°【点拨】因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠1=∠CAE.在△BAD和△CAE中，因为AB=AC，∠1=∠CAE，AD=AE，所以△BAD≌△CAE(SAS)，所以∠ABD=∠2=22°，所以∠ADB=180°−∠1−∠ABD=124°，所以∠3=180°−∠ADB=56°.

12. 新视角 动点探究题 如图,在长方形ABCD中,AB= 20cm,点E在边AD上,且AE= 12cm. 动点P在边AB上,从点A出发以4cm/s的速度向点B运动,同时,点Q在边BC上,以v cm/s的速度由点B向点C运动,若在运动过程中存在△EAP与△PBQ全等的时刻,则v的值为4或24/5.

答案： 4或24/5 【点拨】设运动时间为t s，则AP=4t cm，BQ=vt cm，所以BP=AB−AP=(20−4t)cm.因为在长方形ABCD中，∠A=∠B=90°，所以当AE=BP，AP=BQ，即12=20−4t，4t=vt时，△AEP≌△BPQ，解得t=2，v=4；当AE=BQ，AP=BP，即12=vt，4t=20−4t时，△AEP≌△BQP，解得t=5/2，v=24/5.
综上所述，v的值为4或24/5.

13. 如图,在△ABC和△ADE中,AB= AC,AD= AE,∠BAC= ∠DAE= 40°. 连接BD并延长,交AC于点M,交AE于点N,连接CE并延长,与BD的延长线交于点F.
(1) 求证：BD= CE；
(2) 试求∠F的度数.

答案：
(1)【证明】
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE}，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE.
(2)【解】由
(1)知△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠F=180°−∠FBC−∠FCB
=180°−∠FBC−∠ACE−∠ACB
=180°−∠FBC−∠ABD−∠ACB
=180°−∠ABC−∠ACB
=∠BAC=40°.

14. 新考法 倍长中线法 某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.
【探究与发现】(1) 如图①,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED= AD,连接BE. 求证：△ACD≌△EBD；
【变式与应用】(2) 如图②,EP是△DEF的中线,若EF= 5,DE= 3. 设EP= x,则x的取值范围是1＜x＜4；
【感悟】解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中；
【拓展与延伸】(3) 如图③,AD是△ABC的中线,点E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF. 求证：BE+CF＞EF.

(1)【证明】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
在△ACD和△EBD中，{AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD}，
∴△ACD≌△EBD(SAS).
(3)【证明】如图，延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，EG.
∵AD是△ABC的中线，
∴DC=DB.
在△DFC和△DGB中，{DF=DG,∠CDF=∠BDG,DC=DB}，
∴△DFC≌△DGB(SAS).
∴CF=BG.
∵DE⊥DF，
∴∠FDE=∠GDE=90°.
在△EDF和△EDG中，{DF=DG,∠FDE=∠GDE,DE=DE}，
∴△EDF≌△EDG(SAS).
∴EF=EG.
在△BEG中，根据三角形三边关系，得BE+BG＞EG.
又
∵EF=EG，BG=CF，
∴BE+CF＞EF.

答案：
(1)【证明】
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
在△ACD和△EBD中，{AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD}，
∴△ACD≌△EBD(SAS).
(2)1＜x＜4
(3)【证明】如图，延长FD至点G，使得DG=DF，连接BG，EG.
∵AD是△ABC的中线，
∴DC=DB.
在△DFC和△DGB中，{DF=DG,∠CDF=∠BDG,DC=DB}，
∴△DFC≌△DGB(SAS).
∴CF=BG.
∵DE⊥DF，
∴∠FDE=∠GDE=90°.
在△EDF和△EDG中，{DF=DG,∠FDE=∠GDE,DE=DE}，
∴△EDF≌△EDG(SAS).
∴EF=EG.
在△BEG中，根据三角形三边关系，得BE+BG＞EG.
又
∵EF=EG，BG=CF，
∴BE+CF＞EF.