《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

4. 新视角 条件开放题 如图,点$D在BC$上,$AB = AD$,$\angle BAD = \angle CAE$。
(1) 添加条件：AC=AE(只需写出一个),使$\triangle ABC \cong \triangle ADE$；
(2) 根据你添加的条件,写出证明过程。

答案：
(1)AC=AE(答案不唯一)
(2)【证明】
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
又
∵AB=AD,AC=AE,
∴△ABC≌△ADE(SAS).

5. 如图所示,已知$AB = AC$,$AD = AE$,点$B$,$D$,$E$在同一条直线上,$BD = CE$,且$\angle BAC = 52^{\circ}$。
(1) 求证：$\triangle ABD \cong \triangle ACE$；
(2) 求$\angle BEC$的度数。

答案：
(1)【证明】在△ABD和△ACE中,
∵AB=AC,AD=AE,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
(2)【解】
∵△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE.
设AC与BE的交点为F,在△ABF和△ECF中,∠ABF=∠ACE,∠AFB=∠EFC,
∴∠BAC=∠BEC.
∵∠BAC=52°,
∴∠BEC=∠BAC=52°.

6. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle ABC = \angle ACB = 45^{\circ}$,$D$,$E是斜边BC$上两点,且$\angle DAE = 45^{\circ}$,若$BD = 3$,$CE = 4$,$S_{\triangle ADE} = 15$,求$\triangle ABD与\triangle AEC$的面积之和。

答案： 【解】作△ADE关于AE的对称图形△AFE,连接CF,则AF=AD,∠EAF=45°,S△AFE=S△ADE=15,
所以∠DAF=90°.
由题意得∠BAC=90°,
所以∠CAF=∠BAD.
在△ACF和△ABD中,{AC=AB,∠CAF=∠BAD,AF=AD}
所以△ACF≌△ABD(SAS).所以CF=BD=3,∠ACF=∠ABD=45°,S△ACF=S△ABD.
所以∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°,即△CEF是直角三角形.所以S△CEF=$\frac{1}{2}$·CE·CF=$\frac{1}{2}$×4×3=6.
所以S△ABD+S△AEC=S△ACF+S△AEC=S△AFE+S△CEF=15+6=21,即△ABD与△AEC的面积之和为21.