《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. [2025保定模拟] 如图,在△ABC中,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,AD⊥BC,垂足为D,且BD= DE,连接AE.
(1)求证：AB= EC；
(2)若DC+AF= 16,求△ABC的周长.

答案： （1）【证明】
∵AD⊥BC，且BD=DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE.
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC，
∴AB=EC.
（2）【解】
∵EF垂直平分AC，
∴AC=2AF.
∵BD=DE，
∴BC=2DE+EC.
由（1）得AB=EC，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=EC+2DE+EC+2AF=2(DC+AF)=32.

2. 新视角 最值探究题 如图,∠AOB= 20°,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB,OA上的动点,记∠MPQ= α,∠PQN= β,当MP+PQ+QN的值最小时,β-α= ( )

A.20°
B.40°
C.10°
D.60°

答案：
B 【点拨】如图，作M关于OB的对称点M'，作N关于OA的对称点N'，连接M'N'交OA于Q，交OB于P，则此时MP+PQ+QN的值最小，
可得∠OPM=∠OPM'=∠NPQ，∠OQP=∠AQN'=∠AQN，
∴∠QPN=$\frac{1}{2}$(180°−α)=∠AOB+∠MQP=20°+$\frac{1}{2}$(180°−β).
∴180°−α=40°+(180°−β).
∴β−α=40°，故选B.

3. 如图所示,A,B,C三点表示三个村庄,为了解决村民子女就近入学的问题,有关部门计划建一所小学,要使学校到三个村庄的距离相等,学校的位置应设在何处(保留作图痕迹,不写作法)？

答案：
【解】如图，点M即为所求学校的位置.

4. 如图,已知线段a,求作等腰三角形ABC,使AB= AC,BC= a,高AD= $\frac{1}{2}$a.

答案： 【解】如图.①作射线BP.②在射线BP上截取BC=a，③作线段BC的垂直平分线MN，垂足为D.④在射线DM上截取DA=BD=$\frac{1}{2}$a.⑤连接AB，AC，则△ABC即为所求三角形.

5. 在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,MN垂直平分AC,分别交AC,BC于点M,N,连接AE,AN.
(1)如图①,若∠BAC= 100°,求∠EAN的度数；
(2)如图②,若∠BAC= 70°,求∠EAN的度数；
(3)若∠BAC= α(α≠90°),请直接写出∠EAN的度数(用含α的代数式表示).

答案：
【解】（1）
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，∠ADE=∠BDE=90°.又
∵DE=DE，
∴△ADE≌△BDE.
∴∠BAE=∠B.同理可得∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C).
∵在△ABC 中，∠B+∠C=180°-∠BAC=80°，
∴∠EAN=100°-80°=20°.
（2）同（1）可得∠BAE=∠B，∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC.
∵在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=110°，
∴∠EAN=110°-70°=40°.
（3）当0°＜α＜90°时，∠EAN=180°-2α；当90°＜α＜180°时，∠EAN=2α-180°.