《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

14. 新视角 规律探究题 阅读下列解题过程：
第1个等式：$\sqrt{1 - \dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}} = \dfrac{1}{2}；$
第2个等式：$\sqrt{1 - \dfrac{5}{9}} = \sqrt{\dfrac{4}{9}} = \sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}} = \dfrac{2}{3}；$
第3个等式：$\sqrt{1 - \dfrac{7}{16}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{2}} = \dfrac{3}{4}；$…(1)按照你所发现的规律,请你写出第4个等式：√{1-9/25}=√{16/25}=√{(4/5)²}=4/5；(2)按照你所发现的规律,请你写出第n(n为正整数)个等式：√{1-(2n+1)/(n+1)²}=√{n²/(n+1)²}=n/(n+1)。

答案：
(1)√{1-9/25}=√{16/25}=√{(4/5)²}=4/5
(2)√{1-(2n+1)/(n+1)²}=√{n²/(n+1)²}=n/(n+1)

15. 新趋势 跨学科综合 座钟的钟摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期,其计算公式为$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}$,其中$T$表示周期(单位：$s$),$l$表示摆长(单位：$m$)。假如一台座钟钟摆的摆长为$0.2\ m$。($\pi取3$,$g = 9.8\ m/s^{2}$)
(1)求钟摆摆动的周期。
(2)如果钟摆每摆动一个来回,座钟发出一次滴答声,那么在$6\ min$内,该座钟大约发出了多少次滴答声？

答案：
(1)T=2π√{l/g}≈2×3×√{0.2/9.8}=6×√{1/49}=6/7(s).答:钟摆摆动的周期约为6/7s.
(2)
∵6min=360s,
∴360÷6/7=420(次).答:在6min内,该座钟大约发出了420次滴答声.

16. 新考法 阅读类比法 阅读下列解题过程。
例：若代数式$\sqrt{(a - 1)^{2}} + \sqrt{(a - 3)^{2}}的值是2$,求$a$的取值范围。
解：原式$= |a - 1| + |a - 3|$。
当$a ＜ 1$时,原式$= (1 - a) + (3 - a) = 4 - 2a = 2$,解得$a = 1$(舍去)；
当$1 \leqslant a \leqslant 3$时,原式$= (a - 1) + (3 - a) = 2$,符合条件；
当$a ＞ 3$时,原式$= (a - 1) + (a - 3) = 2a - 4 = 2$,解得$a = 3$(舍去)。
综上,$a的取值范围是1 \leqslant a \leqslant 3$。
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据此方法,解答下列问题：
(1)当$2 \leqslant a \leqslant 3$时,化简$\sqrt{(a - 2)^{2}} + \sqrt{(a - 5)^{2}} = $3；
(2)若等式$\sqrt{(3 - a)^{2}} + \sqrt{(a - 7)^{2}} = 4$成立,则$a$的取值范围是3≤a≤7；
(3)若$\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{(a - 5)^{2}} = 8$,求$a$的值。
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答案：
(1)3 【点拨】
∵2≤a≤3,
∴a-2≥0,a-5≤0.
∴原式=|a-2|+|a-5|=a-2-(a-5)=3.
(2)3≤a≤7
(3)原方程可化为|a+1|+|a-5|=8,当a≤-1时,a+1≤0,a-5＜0,
∴方程化为-a-1-(a-5)=8,解得a=-2,符合题意;当-1＜a＜5时,a+1＞0,a-5＜0,
∴方程化为(a+1)-(a-5)=8,此方程无解,故-1＜a＜5不符合题意;当a≥5时,a+1＞0,a-5≥0,
∴方程化为a+1+a-5=8,解得a=6,符合题意.综上所述,a=-2或a=6.