《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

7. 【尝试探究】如图①,已知在正方形$ABCD$中(四边相等,四个内角均为$90^{\circ}$),点$E$,$F分别在边BC$,$DC$上运动,当$\angle EAF = 45^{\circ}$时,探究$DF$,$BE和EF$的数量关系,并加以证明；
【模型建立】如图②,若将直角三角形$ABC沿斜边翻折得到\triangle ADC$,且$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$,点$E$,$F分别在边BC$,$DC$上运动,且$\angle EAF = \frac{1}{2}\angle BAD$,试猜想【尝试探究】中的结论还成立吗？请加以证明；
【拓展应用】如图③,已知$\triangle ABC是边长为8$的等边三角形(三边相等,三个内角均为$60^{\circ}$),$BD = CD$,$\angle BDC = 120^{\circ}$,$\angle DBC = \angle BCD = 30^{\circ}$,以$D为顶点作一个60^{\circ}$角,使其角的两边分别交边$AB$,$AC于点E$,$F$,连接$EF$,直接写出$\triangle AEF$的周长。

答案：
【解】【尝试探究】DF+BE=EF.
证明:如图①,把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG,则∠BAG=∠DAF,∠ABG=∠D,AG=AF.
∴∠EAG=∠EAB+∠GAB=∠EAB+∠DAF=90° - 45°=45°=∠EAF,即∠EAF=∠EAG.
∵∠ABC=∠D=90°,
∴∠EBG=180°,即点E,B,G共线.
在△AEF和△AEG中,{AG=AF,∠GAE=∠FAE,AE=AE}
∴△AEF≌△AEG(SAS).
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF.
∴DF+BE=EF.
　　
【模型建立】成立,如图②.
证明:将△ADF绕A顺时针旋转∠BAD的度数至△ABM,由旋转得BM=DF,∠1=∠2,AF=AM,∠ABM=∠D=90°.
同理得点M,B,E在同一条直线上.
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠BAE+∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∴∠BAE+∠MAB=$\frac{1}{2}$∠BAD.
∴∠EAM=∠EAF.
∵AF=AM,AE=AE,
∴△MAE≌△FAE(SAS).
∴EF=EM.
∴EF=BM+BE=DF+BE.
∴【尝试探究】中的结论还成立,DF+BE=EF.
【拓展应用】△AEF的周长为16. 【点拨】
∵△ABC是边长为8的等边三角形,
∴AB=AC=8,∠ABC=∠ACB=60°.
∵∠DBC=∠BCD=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°.
如图③,将△DCF绕点D逆时针旋转120°,得到△DBN.
则∠DBN=∠DCF=90°,BN=CF,DN=DF.
∴∠EBN=∠EBD+∠NBD=180°.
∴E,B,N三点共线.
易得△NDE≌△FDE.
∴EF=EN=BE+BN.
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+BE+BN=AE+AF+BE+CF=AB+AC=16.

8. (1) 如图①,直线$m经过等腰直角三角形ABC的直角顶点A$,过点$B$,$C分别作BD \perp m$,$CE \perp m$,垂足分别是$D$,$E$。求证：$BD + CE = DE$；
(2) 如图②,直线$m经过\triangle ABC的顶点A$,$AB = AC$,在直线$m上取两点D$,$E$,使$\angle ADB = \angle AEC = \alpha$,补充$\angle BAC = $$\alpha$(用$\alpha$表示),线段$BD$,$CE与DE之间满足BD + CE = DE$,补充条件并证明；
(3) 在(2)的条件中,将直线$m绕着点A$逆时针方向旋转一个角度到如图③的位置,并改变条件$\angle ADB = \angle AEC = $$180° - \alpha$(用$\alpha$表示)。通过观察或测量,猜想线段$BD$,$CE与DE$之间满足的数量关系,并予以证明。

答案：
(1)【证明】
∵BD⊥m,CE⊥m,
∴∠ADB=∠CEA=90°.
∴∠ECA+∠EAC=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠DAB+∠EAC=90°,
∴∠DAB=∠ECA.
又
∵∠ADB=∠CEA=90°,AB=AC,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴BD=AE,DA=EC.
∴DE=DA+AE=EC+BD.
∴BD+CE=DE.
(2)【解】α 证明如下:
∵∠ADB=∠BAC=∠CEA=α,
∴∠DAB+∠EAC=180° - α,∠ECA+∠CAE=180 - α.
∴∠DAB=∠ECA.
∵∠ADB=∠CEA=α,AC=AB,
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴CE=AD,BD=AE.
∴DE=DA+AE=CE+BD,即BD+CE=DE.
(3)【解】180° - α 数量关系为DE=CE - BD.
证明如下:
∵∠ADB=∠AEC=180° - α,∠BAC=α,
∴∠ABD+∠BAD=α,∠BAD+∠EAC=α.
∴∠ABD=∠CAE.
∵AB=AC,
∴△BAD≌△ACE(AAS).
∴AD=CE,BD=AE.
∴DE=AD - AE=EC - BD.