《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 下列计算正确的是(D)

A.$\frac{a^{2}}{b^{5}} \cdot \frac{b^{3}}{a^{5}}= \frac{b^{3}}{a^{3}}$
B.$\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}= \frac{ac}{bd}$
C.$\frac{7b}{2a^{3}} \cdot \frac{8a^{3}}{7b^{2}}= \frac{4a}{b^{2}}$
D.$a \cdot \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{a}= \frac{b}{a}$

答案： D

2. 计算$\left(-\frac{1}{2} x\right)^{2} \cdot \frac{4}{x}$的结果是(B)
A.$-x$
B.$x$
C.$2x$
D.$x^{3}$

答案： B

3. 若分式“$\frac{x - 1}{x^{2}-□} \cdot \frac{x + 2}{x}$”可以进行约分化简,则“$□$”中不可以是(B)
A.$1$
B.$2$
C.$4$
D.$x$

答案： B

4. 若$m - n = 2$,则代数式$\frac{m^{2}-n^{2}}{m} \cdot \frac{2m}{m + n}$的值是4。

答案： 4 【点拨】原式$=\frac{(m+n)(m-n)}{m}\cdot \frac{2m}{m+n}=2(m-n)$.$\because m-n=2$,$\therefore$原式$=2× 2=4$.

5. 一艘船顺流航行$n$km 用了$m$h,如果逆流航速是顺流航速的$\frac{p}{q}$,那么这艘船逆流航行$t$h 走的路程是$\frac{npt}{mq}$km。

答案： $\frac{npt}{mq}$

6. 计算：
(1) $\frac{2y}{3x^{2}} \cdot\left(-\frac{x}{2y}\right)^{3}$；
(2) $\left(\frac{a - 3}{a}\right)^{2} \cdot \frac{a^{2}+a}{a - 3} \cdot \frac{a}{a + 1}$；
(3) $\frac{a + 2}{a^{2}-2a + 1} \cdot \frac{a^{2}-4a + 4}{a + 1} \cdot \frac{a^{2}-1}{a^{2}-4}$。

答案：
(1)原式$=\frac{2y}{3x^{2}}\cdot \left(-\frac{x^{3}}{8y^{3}}\right)=-\frac{x}{12y^{2}}$;
(2)原式$=\frac{(a-3)^{2}}{a^{2}}\cdot \frac{a(a+1)}{a-3}\cdot \frac{a}{a+1}=a-3$;
(3)原式$=\frac{a+2}{(a-1)^{2}}\cdot \frac{(a-2)^{2}}{a+1}\cdot \frac{(a+1)(a-1)}{(a+2)(a-2)}=\frac{a-2}{a-1}$.

7. 下列各式中：①$\left(\frac{-2mn}{a^{2}b}\right)^{2}$；②$\frac{-4m^{4}n^{2}}{a^{5}b} \cdot \frac{an}{bm^{2}}$；③$\left(\frac{2m}{-ab^{2}}\right)^{2} \cdot\left(\frac{nb}{a}\right)^{2}$；④$\frac{2mn^{2}}{ab^{2}} \cdot \frac{m}{a^{3}}$,相等的两个式子是(B)
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④

答案： B 【点拨】①$\left(\frac{-2mn}{a^{2}b}\right)^{2}=\frac{4m^{2}n^{2}}{a^{4}b^{2}}$;②$\frac{-4m^{4}n^{2}}{a^{3}b}\cdot \frac{an}{bm^{2}}=-\frac{4m^{2}n^{3}}{a^{2}b^{2}}$;③$\left(\frac{-2m}{ab^{2}}\right)^{2}\cdot \left(\frac{nb}{a}\right)^{2}=\frac{4m^{2}}{a^{2}b^{4}}\cdot \frac{n^{2}b^{2}}{a^{2}}=\frac{4m^{2}n^{2}}{a^{4}b^{2}}$;④$\frac{2mn^{2}}{ab^{2}}\cdot \frac{m}{a^{3}}=\frac{2m^{2}n^{2}}{a^{4}b^{2}}$.相等的式子是①③.故选 B.

8. 对于实数$m$,$n$,定义一种运算：$m※n = m^{2} \cdot n$,则$\frac{b}{a}※\frac{a}{b}= $$\frac{b}{a}$。

答案： $\frac{b}{a}$ 【点拨】$\frac{b}{a}※\frac{a}{b}=\left(\frac{b}{a}\right)^{2}\cdot \frac{a}{b}=\frac{b^{2}}{a^{2}}\cdot \frac{a}{b}=\frac{b}{a}$.

9. 已知$a$,$b$是有理数,且$\frac{a + 3b}{5}= \frac{8a + 4b}{3b + a}= \frac{10}{b + 2a}$,求$(a + b)^{3}$。

答案： 【解】设$\frac{a+3b}{5}=\frac{8a+4b}{3b+a}=\frac{10}{b+2a}=k$,$\therefore \frac{a+3b}{5}\cdot \frac{8a+4b}{3b+a}\cdot \frac{10}{b+2a}=k^{3}$,整理得$k^{3}=8$.$\therefore k=2$.$\therefore \begin{cases} a+3b=10, \\ b+2a=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=3, \end{cases}$$\therefore (a+b)^{3}=4^{3}=64$.

10. 在学习了分式的乘法之后,老师出了这样一道题,计算：$\left(a + \frac{1}{a}\right)\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right) \cdot\left(a^{4}+\frac{1}{a^{4}}\right)\left(a^{8}+\frac{1}{a^{8}}\right)\left(a^{2}-1\right)$,同学们都感到无从下手,小明将$a^{2}-1变形为a\left(a - \frac{1}{a}\right)$,然后用平方差公式很轻松地得出了结论。你知道他是怎么做的吗？

答案： 【解】原式$=a\left(a-\frac{1}{a}\right)\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)\left(a^{4}+\frac{1}{a^{4}}\right)\cdot \left(a^{8}+\frac{1}{a^{8}}\right)=a\left(a^{2}-\frac{1}{a^{2}}\right)\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)\left(a^{4}+\frac{1}{a^{4}}\right)\left(a^{8}+\frac{1}{a^{8}}\right)=a\left(a^{4}-\frac{1}{a^{4}}\right)\left(a^{4}+\frac{1}{a^{4}}\right)\left(a^{8}+\frac{1}{a^{8}}\right)=a\left(a^{8}-\frac{1}{a^{8}}\right)\cdot \left(a^{8}+\frac{1}{a^{8}}\right)=a\left(a^{16}-\frac{1}{a^{16}}\right)=a^{17}-\frac{1}{a^{15}}$.