《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$AB// CD$,$M$ 为 $BC$ 边上的一点,且 $AM$ 平分 $\angle BAD$,$DM$ 平分 $\angle ADC$。求证：
(1) $AM\perp DM$；
(2) $M$ 为 $BC$ 的中点。

答案：
1.【证明】
(1)
∵AB//CD,
∴∠BAD+∠ADC=180°.
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴∠BAM=∠MAD,∠CDM=∠ADM.
∴2∠MAD+2∠ADM=180°.
∴∠MAD+∠ADM=90°.
∴∠AMD=90°,即AM⊥DM.
(2)如图,过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B=90°,
∴BM⊥AB.
∵AB//CD,
∴CM⊥CD.
又
∵AM平分∠BAD,DM平分∠ADC,
∴BM=MN,MN=CM.
∴BM=CM.
∴M为BC的中点.

2. 请回答下列问题：
(1) 如图①,已知 $\triangle ABC$,利用直尺和圆规,作 $\angle BAC$ 的平分线 $AD$,$AD$ 交 $BC$ 于点 $D$(保留作图痕迹,不要求写作法)；
(2) 如图②,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线,$E$,$F$ 分别是 $AB$,$AC$ 上的点,且 $\angle EDF+\angle BAC = 180^{\circ}$,求证：$DE = DF$。

答案：
2.
(1)【解】如图①,AD即为所作.


(2)【证明】如图②,过点D作DH⊥AB于点H,作DQ⊥AC于点Q,
则∠EHD=∠FQD=90°.
∵AD平分∠BAC,
∴DH=DQ.
∵∠EDF+∠BAC=180°,
∴∠AED+∠AFD=180°.
∵∠DFQ+∠AFD=180°,
∴∠DEH=∠DFQ.
在△EHD和△FQD中,{∠DEH=∠DFQ,∠EHD=∠FQD,DH=DQ,
∴△EHD≌△FQD(AAS).
∴DE=DF.

3. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = CB$,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$D$ 是 $AB$ 上一点,$AE\perp CD$ 交 $CD$ 的延长线于点 $E$,且 $AE= \frac{1}{2}CD$,$BD = 8\mathrm{cm}$。求点 $D$ 到 $AC$ 的距离。

答案：
3.【解】如图,分别延长AE,CB,两线相交于点F,过点D作DM⊥AC于点M.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABF=90°=∠ABC.
∴∠FAB+∠F=90°.
∵AE⊥CD,
∴∠FCE+∠F=90°.
∴∠FAB=∠FCE.
在△ABF和△CBD中,{∠FAB=∠DCB,AB=CB,∠ABF=∠CBD,
∴△ABF≌△CBD(ASA).
∴AF=CD.
∵AE=$\frac{1}{2}$CD,
∴AE=$\frac{1}{2}$AF=EF.
∵AE⊥CD,
∴∠AEC=∠FEC=90°.
在△ACE和△FCE中,{AE=FE,∠AEC=∠FEC=90°,CE=CE,
∴△ACE≌△FCE(SAS).
∴∠ACE=∠FCE.
又
∵DM⊥AC,DB⊥BC,BD=8cm,
∴DM=DB=8cm,
即点D到AC的距离为8cm.
点方法本题综合考查了全等三角形的判定与性质和角的平分线的性质，解决本题的关键是证明CD平分∠ACB.可以通过添加辅助线构造全等三角形来证明角相等，再由角的平分线的性质求得结论.

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 平分 $\angle BAC$,$\angle C = 2\angle B$。求证：$AC + CD = AB$。

答案：
4.【证明】如图,将△ACD沿AD折叠,得到△AED,E恰好落在AB上,过点E作EF⊥BC于点F,则△AED≌△ACD.
∴ED=CD,∠AED=∠C.
∵∠AED=∠B+∠EDB,
∴∠C=∠B+∠EDB.
又
∵∠C=2∠B,
∴∠B=∠EDB.
在△EFB和△EFD中,{∠B=∠EDF,∠EFB=∠EFD=90°,EF=EF,
∴△EFB≌△EFD(AAS).
∴BE=DE.
∴BE=CD.
∴AB=AE+BE=AC+CD,即AC+CD=AB.