《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

10. 如图,图形的各个顶点都在$4×4$的小正方形网格线的交点上,则$\angle\alpha+\angle\beta$的度数为45°.

答案： 45°

11. 三个全等三角形按如图所示摆放,则$\angle1+\angle2+\angle3$的度数为180°.

答案： 180°

12. 新视角 动手操作题 把如图所示的由$16$个小正方形组成的图形用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形.

答案： 【解】分割线如图所示.（答案不唯一）

13. 如图,$\triangle ABC\cong\triangle ADE$,点$E在边BC$上(不与点$B,C$重合),$DE与AB交于点F$.
(1)若$\angle CAD= 110^{\circ}$,$\angle BAE= 30^{\circ}$,求$\angle BAD$的度数;
(2)若$AD= 10$,$BE= CE= 4.5$,求$\triangle ADF与\triangle BEF$的周长和;
(3)已知$\angle C= \angle AEC= 70^{\circ}$,若$\triangle ABC$是锐角三角形,请直接写出$\angle B$的取值范围.

答案： 【解】
(1)因为△ABC≌△ADE，
所以∠BAC = ∠DAE. 所以∠CAE = ∠BAD.
因为∠CAD = 110°，∠BAE = 30°，
所以∠CAE + ∠BAD = ∠CAD - ∠BAE = 80°.
所以∠BAD = 40°.
(2)因为 AD = 10，BE = CE = 4.5，△ABC≌△ADE，
所以 AB = AD = 10，DE = BC = BE + CE = 9.
所以△ADF 与△BEF 的周长和为 AD + DF + AF + BF + EF + BE = AD + (DF + EF) + (AF + BF) + BE = AD + DE + AB + BE = 10 + 9 + 10 + 4.5 = 33.5.
(3)20° ＜ ∠B ＜ 70°.

14. 新视角 动点探究题 如图①,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$BC= 9cm$,$AC= 12cm$,$AB= 15cm$.动点$P从点A$出发,沿边$AC\rightarrow CB\rightarrow BA$运动,回到点$A$停止,速度为$3cm/s$,设运动时间为$t$ s.
(1)当$0\lt t\leqslant4$时,$PC= $(12 - 3t)$cm$(用含$t$的式子表示);
(2)当$4\lt t\lt7且\triangle APC的面积等于\triangle ABC$面积的一半时,求$t$的值;
(3)如图②,在$Rt\triangle DEF$中,$\angle E= 90^{\circ}$,$DE= 4cm$,$DF= 5cm$,$\angle D= \angle A$.在$AB边上有一动点Q$,与点$P同时从点A$出发,沿边$AB\rightarrow BC\rightarrow CA$运动,回到点$A$停止.当$\triangle APQ\cong\triangle DEF$时,求点$Q$的运动速度.

答案： 【解】
(1)(12 - 3t)
(2)当 4 ＜ t ＜ 7 时，P 在 BC 上（不包括 B，C 两点），且 PC = (3t - 12)cm.
∵△APC 的面积等于△ABC 面积的一半，
∴PC = PB = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×9 = $\frac{9}{2}$(cm)，
∴3t - 12 = $\frac{9}{2}$，解得 t = 5.5.
(3)设点 Q 的运动速度为 x cm/s，
①如图①，当点 P 在 AC 上，点 Q 在 AB 上，△APQ≌△DEF 时，AP = DE = 4 cm，AQ = DF = 5 cm，
∴4÷3 = 5÷x，解得 x = $\frac{15}{4}$；
②如图②，当点 P 在 AB 上，点 Q 在 AC 上，△APQ≌△DEF 时，AP = DE = 4 cm，AQ = DF = 5 cm，
∴点 P 的运动路程为 9 + 12 + 15 - 4 = 32(cm)，点 Q 的运动路程为 9 + 12 + 15 - 5 = 31(cm)，
∴32÷3 = 31÷x，解得 x = $\frac{93}{32}$.
综上，点 Q 的运动速度为$\frac{15}{4}$cm/s 或$\frac{93}{32}$cm/s.