《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 我们知道当 $a + b = 0$ 时,$a^{3}+b^{3}= 0$ 也成立,若将 $a$ 看成 $a^{3}$ 的立方根,$b$ 看成 $b^{3}$ 的立方根,我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互为相反数.
(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
(2) 若 $\sqrt[3]{1 - 2x}$ 与 $\sqrt[3]{3x - 5}$ 互为相反数,求 $1-\sqrt{x}$ 的值.

答案： 【解】
(1)
∵2+(-2)=0,且$2^{3}=8,(-2)^{3}=-8,8+$
(-8)=0,
∴结论"若两个数的立方根互为相反数,则这两个数也互
为相反数"是成立的.(举例不唯一)
(2)由结论可知,$1-2x+3x-5=0$,
∴$x=4$.
∴$1-\sqrt{x}=1-2=-1$.

2. 实数 $a$,$b$ 在数轴上对应点的位置如图所示,则下列结论正确的是(D)

A.$ab＞0$
B.$a + b＞0$
C.$a + 3＜b + 3$
D.$-3a＜-3b$

答案： D

3. 如图,已知点 $A$ 表示的数为 $-\sqrt{5}$,点 $A$ 向右平移 $3$ 个单位长度到达点 $B$.
(1) 点 $B$ 表示的数为$3-\sqrt{5}$；
(2) 在数轴上还有 $C$,$D$ 两点分别表示实数 $c$ 和 $d$,且有 $|2c + 4|$ 与 $\sqrt{d - 4}$ 互为相反数,求 $2c + 5d$ 的平方根.

【解】
∵$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数,
∴$|2c+4|+\sqrt{d-4}=0$.
∴$2c+4=0,d-4=0$,解得$c=-2,d=4$.
∴$2c+5d=2×(-2)+5×4=16$.
∴$2c+5d$的平方根是±4.

答案： 【解】
(1)$3-\sqrt{5}$
(2)
∵$|2c+4|$与$\sqrt{d-4}$互为相反数,
∴$|2c+4|+\sqrt{d-4}=0$.
∴$2c+4=0,d-4=0$,解得$c=-2,d=4$.
∴$2c+5d=2×(-2)+5×4=16$.
∴$2c+5d$的平方根是±4.

4. 已知实数 $x$,$y$ 满足 $\sqrt{4x - y^{2}+1}+|y^{2}-9|= 0$.
(1) 求 $x$,$y$ 的值；
(2) 判断 $\sqrt[x]{y + 6}$ 是有理数还是无理数,并说明理由.

答案： 【解】
(1)由题意,得$4x-y^{2}+1=0,y^{2}-9=0$,
∴$x=2,y=3$或$y=-3$.
(2)当$x=2,y=3$时,$\sqrt[y]{y+6}=\sqrt{3+6}=3$,是有理数;
当$x=2,y=-3$时,$\sqrt[y]{y+6}=\sqrt{-3+6}=\sqrt{3}$,是无理数.

5. 在数轴上,点 $A$ 表示实数 $3$,以点 $A$ 为圆心,$2+\sqrt{5}$ 为半径画弧,交数轴于点 $C$,则点 $C$ 表示的实数是(D)
A.$5+\sqrt{5}$
B.$1-\sqrt{5}$
C.$\sqrt{5}-1$ 或 $5+\sqrt{5}$
D.$1-\sqrt{5}$ 或 $5+\sqrt{5}$

答案： D

6. 如果 $3a - 5$ 和 $2a - 10$ 是一个正数的平方根,求这个正数.

答案： 【解】分两种情况讨论:
①当这个正数的平方根分别为$3a-5$和$2a-10$时,
$3a-5+2a-10=0$,解得$a=3$.
当$a=3$时,$3a-5=4$,
∴这个正数为$4^{2}=16$;
②当$3a-5=2a-10$时,解得$a=-5$,
此时$3a-5=-20$,
∴这个正数为$(-20)^{2}=400$.
综上所述,这个正数为400或16.