《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

11. 已知$M= (1 + \frac{1}{x - 1})÷\frac{1}{x^{2} - 1} - (x - 1)$,$N= (\frac{3x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1})\cdot\frac{x^{2} - 1}{x} + 2$。
小刚和小军在对上述式子进行化简后,小刚说：“$M的值都比N$的值大。”小军说：“$N的值都比M$的值大。”请你判断他们谁的结论正确,并说明理由。

答案： [解]小刚的结论正确，理由：
$\because M = (1 + \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{1}{x^{2} - 1} - (x - 1) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x + 1)(x - 1) - (x - 1) = x^{2} + 1$，$N = (\frac{3x}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} + 2 = \frac{2x}{x + 1} \cdot \frac{(x + 1)(x - 1)}{x} + 2 = 2x$，$\therefore M - N = x^{2} + 1 - 2x = (x - 1)^{2} \geq 0$。易得$x \neq 0$，且$x \neq \pm 1$，$\therefore M - N ＞ 0$。$\therefore M$的值都比$N$的值大。$\therefore$小刚的结论正确。

12. 新视角 新定义题型 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式,则称这个分式为“和谐分式”。如：$\frac{x + 1}{x - 1}= \frac{x - 1 + 2}{x - 1}= \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}= 1 + \frac{2}{x - 1}$,则$\frac{x + 1}{x - 1}$是“和谐分式”。
(1)下列式子中,属于“和谐分式”的是①③(填序号)；
①$\frac{x + 1}{x}$；②$\frac{2 + x}{2}$；③$\frac{x + 2}{x + 1}$。
(2)应用：先化简$\frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x}÷\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 2x}$,再求$x$取什么整数时,该分式的值为整数。

答案： [解]
(1)①③
(2)原式$=\frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x(x + 2)}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{3x + 6}{x + 1} - \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2x + 4}{x + 1} = \frac{2x + 2 + 2}{x + 1} = \frac{2(x + 1) + 2}{x + 1} = 2 + \frac{2}{x + 1}$。
$\because (x + 1)(x - 1) \neq 0$且$x(x + 2) \neq 0$，$x$为整数，该分式的值为整数，
$\therefore$易得$x = -3$，即$x$取$-3$时，该分式的值为整数。

13. 新考法 逆向思维法 已知：$\frac{3 - x}{x^{2} - 2x + 1}÷ P = 1 + \frac{x^{2} - 2x - 1}{1 - x}$。
(1)求$P$,并将之化简；
(2)当$x = n$时,记$P的值为P(n)$。例如,当$x = 2$时,$P的值为P(2)$；当$x = 3$时,$P的值为P(3)$；…$$。请直接写出关于$t的不等式\frac{t - 2}{4} - \frac{3 - t}{2}\geq P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8)$的解集及其最小整数解。

答案： [解]
(1)$P = \frac{3 - x}{x^{2} - 2x + 1} ÷ (1 + \frac{x^{2} - 2x - 1}{1 - x}) = \frac{3 - x}{(x - 1)^{2}} ÷ \frac{x^{2} - 3x}{1 - x} = \frac{3 - x}{(x - 1)^{2}} \cdot \frac{1 - x}{x(x - 3)} = \frac{1}{x(x - 1)}$。
(2)关于$t$的不等式$\frac{t - 2}{4} - \frac{3 - t}{2} \geq P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8)$的解集为$t \geq \frac{23}{6}$，最小整数解为4。 [点拨]$\because P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8) = \frac{1}{2×1} + \frac{1}{3×2} + \cdots + \frac{1}{8×7} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$。
$\because \frac{t - 2}{4} - \frac{3 - t}{2} \geq P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) + P(7) + P(8)$，$\therefore \frac{t - 2}{4} - \frac{3 - t}{2} \geq \frac{7}{8}$，解得$t \geq \frac{23}{6}$。
$\therefore$不等式的解集为$t \geq \frac{23}{6}$，其最小整数解为4。