《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

12. 新趋势 学科内综合 如图,点$A,B$在数轴上,它们表示的数分别为$-2,\frac {x}{x+2}$.
(1) 若点$A,B$到原点的距离相等,则$x$的值为$-4$；
(2) 若点$C在数轴上表示的数为\frac {1}{2x+4}$,且点$A,B到点C$的距离相等,则$x$的值为$-5$.
]

答案：
(1)$-4$
(2)$-5$【点拨】$\because$点$A$，$B$到点$C$的距离相等，$\therefore$点$C$必在点$A$，$B$的中间.$\therefore AC=BC$.$\because AC=\frac{1}{2x+4}-(-2)$，$BC=\frac{x}{x+2}-\frac{1}{2x+4}$，$\therefore \frac{x}{x+2}-\frac{1}{2x+4}=\frac{1}{2x+4}-(-2)$，解得$x=-5$，检验：当$x=-5$时，$2(x+2)\neq0$，$\therefore x=-5$是原方程的解.

13. 已知关于$x的方程\frac {3}{x}+\frac {a}{x-1}= \frac {bx+b}{x^{2}-x}$.
(1) 当$a= 6,b= 1$时,求分式方程的解；
(2) 当$a= 6$时,求当$b$为何值时,分式方程$\frac {3}{x}+\frac {a}{x-1}= \frac {bx+b}{x^{2}-x}$无解.

答案： 【解】
(1)当$a=6$，$b=1$时，分式方程为$\frac{3}{x}+\frac{6}{x-1}=\frac{x+1}{x^2-x}$，解得$x=\frac{1}{2}$，经检验，$x=\frac{1}{2}$是原方程的解.
(2)当$a=6$时，分式方程为$\frac{3}{x}+\frac{6}{x-1}=\frac{bx+b}{x^2-x}$，去分母，得$3(x-1)+6x=bx+b$.整理得，$(9-b)x=3+b$.①当整式方程无解时，$9-b=0$，$\therefore b=9$；②当分式方程产生增根时，增根为$x=0$或$x=1$.当$x=0$时，$(9-b)×0=3+b$，$\therefore b=-3$；当$x=1$时，$(9-b)×1=3+b$，$\therefore b=3$.综上所述，当$b=-3$或3或9时原方程无解.

14. 新考法 阅读类比法 对于两个不相等的非零实数$m,n$,若分式$\frac {(x-m)(x-n)}{x}$的值为零,则$x= m或x= n$. 又因为$\frac {(x-m)(x-n)}{x}= \frac {x^{2}-(m+n)x+mn}{x}= x+\frac {mn}{x}-(m+n)$,所以关于$x的方程x+\frac {mn}{x}= m+n$有两个解,分别为$x_{1}= m,x_{2}= n$. 应用上面的结论解答下列问题：
(1) 方程$x+\frac {6}{x}= 7$有两个解,分别为$x_{1}= $1,$x_{2}= $6；
(2) 关于$x的方程x+\frac {m-n}{mnx}= \frac {m+4mn-n}{2mn}的两个解分别为x_{1},x_{2}$,若$x_{1}与x_{2}互为倒数且x_{1}＜x_{2}$,则$x_{1}= $$\frac{1}{2}$,$x_{2}= $2；
(3) 关于$x的方程3x+\frac {n^{2}-n}{3x-1}= 2n的两个解分别为x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,求$\frac {x_{1}-2}{3x_{2}}$的值.
【解】
整理$3x+\frac{n^2-n}{3x-1}=2n$，得，$3x-1+\frac{n(n-1)}{3x-1}=n+n-1$，$\therefore 3x-1=n$或$3x-1=n-1$，$\therefore x=\frac{n+1}{3}$或$\frac{n}{3}$.又$\because x_1＜x_2$，$\therefore x_1=\frac{n}{3}$，$x_2=\frac{n+1}{3}$.$\therefore \frac{x_1-2}{3x_2}=\frac{\frac{n}{3}-2}{3×\frac{n+1}{3}}=\frac{n-6}{3n+3}$.

答案： 【解】
(1)1；6
(2)$\frac{1}{2}$；2
(3)整理$3x+\frac{n^2-n}{3x-1}=2n$，得，$3x-1+\frac{n(n-1)}{3x-1}=n+n-1$，$\therefore 3x-1=n$或$3x-1=n-1$，$\therefore x=\frac{n+1}{3}$或$\frac{n}{3}$.又$\because x_1＜x_2$，$\therefore x_1=\frac{n}{3}$，$x_2=\frac{n+1}{3}$.$\therefore \frac{x_1-2}{3x_2}=\frac{\frac{n}{3}-2}{3×\frac{n+1}{3}}=\frac{n-6}{3n+3}$.