《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

11. 如图,$AD是\triangle ABC的边BC$上的中线.
(1)画出以点$D为对称中心且与\triangle ACD$成中心对称的三角形(不要求尺规作图)；
(2)若$AB = 5$,$AC = 9$,求$AD$的取值范围.
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答案：
【解】
(1)如图所示的△A'BD即是符合条件的三角形.
(2)由
(1)知，△ACD和△A'BD关于点D成中心对称，
∴由中心对称的性质可知△ACD≌△A'BD.
∴A'B=AC=9，A'D=AD.
∴AA'=2AD.
在△ABA'中，A'B - AB ＜ AA' ＜ AB + A'B，
∴9 - 5 ＜ AA' ＜ 9 + 5，即4 ＜ AA' ＜ 14.
∴4 ＜ 2AD ＜ 14，即2 ＜ AD ＜ 7.

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$D是BC$上一点,$DE// AC交AB于点E$,$DF// AB交AC于点F$.
(1)求证：四边形$AEDF$是中心对称图形；
(2)若$AD平分\angle BAC$,求证：点$E$,$F关于直线AD$对称.
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答案：
【证明】
(1)
∵DE//AC，DF//AB，
∴∠ADE=∠DAF，∠DAE=∠ADF.
∵AD=DA，
∴△ADE≌△DAF(ASA).
∴AE=DF，DE=AF.
如图，连接EF，交AD于点O，易证得△AOE≌△DOF，
∴OE=OF，OA=OD.
∴点A，点D关于点O成中心对称，点E，点F也关于点O成中心对称.
∴四边形AEDF是中心对称图形.
(2)
∵AD平分∠BAC.
∴∠EAD=∠FAD.
又
∵∠ADE=∠DAF，∠DAE=∠ADF，
∴∠ADE=∠ADF.
∵AD=AD，
∴△ADE≌△ADF(ASA).
∴AE=AF，DE=DF.
∴AD垂直平分EF.
∴点E，F关于直线AD对称.

13. 知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成两个全等的部分.
(1)如图①,四边形$ABCD$是中心对称图形,直线$EF经过对称中心O$,则$S_{四边形AEFB}\underline{ }S_{四边形DEFC}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”).
(2)正方形是中心对称图形,两个正方形如图②摆放,$O$为小正方形对角线的交点,过点$O$作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分.
(3)八个大小相同的正方形如图③摆放,作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
(4)你能否画一条直线,把图④中的两个图形分别分成形状相同、面积相等的两部分？

答案：
【解】
(1)=
(2)如图①.
(3)如图②.

(4)能，如图③，由以上可知当直线过中心对称图形的对称中心时即满足条件.
∵圆为中心对称图形，长方形ABCD为中心对称图形，
∴过圆心和长方形ABCD对称中心的直线即可把两个图形分别分成形状相同、面积相等的两部分