《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 命题“如果 $a ＜ 0$,$b ＜ 0$,那么 $ab ＞ 0$”的逆命题是(B)
A.如果 $a ＜ 0$,$b ＜ 0$,那么 $ab ＜ 0$
B.如果 $ab ＞ 0$,那么 $a ＜ 0$,$b ＜ 0$
C.如果 $a ＞ 0$,$b ＞ 0$,那么 $ab ＜ 0$
D.如果 $ab ＜ 0$,那么 $a ＞ 0$,$b ＞ 0$

答案： B

2. 下列说法正确的是(A)

A.命题一定有逆命题
B.所有的定理一定有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.假命题的逆命题一定是假命题

答案： A

3. 新考法 条件补充法 下面是投影屏上出示的一道抢答题,需要回答横线上符号代表的内容：

则下列回答正确的是(C)
A.$◎$ 代表 $\angle FEC$

B.$@$ 代表同位角
C.$▲$ 代表 $\angle EFC$

D.$※$ 代表 $AB$

答案： C

4. “直角都相等”与“相等的角是直角”是(A)
A.互逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题

答案： A

5. [2024 宿迁] 命题“两直线平行,同位角相等”的逆命题是 $\underline{同位角相等,两直线平行}$.

答案： 同位角相等,两直线平行

6. 下列定理中,有逆定理的是 $\underline{①③}$(只填写序号).
①同旁内角互补,两直线平行；
②同角的余角相等；
③两直线平行,内错角相等.

答案： ①③

7. (1)如图,直线 $AB$,$CD$,$EF$ 被直线 $BF$ 所截,$\angle B+\angle 1= 180^{\circ}$,$\angle 2= \angle 3$.求证：$\angle B+\angle F= 180^{\circ}$；
(2)你在(1)的证明过程中应用了哪两个互逆的定理.

答案：
(1)【证明】
∵∠B+∠1=180°,
∴AB//CD.
∵∠2=∠3,
∴CD//EF,
∴AB//EF,
∴∠B+∠F=180°.
(2)【解】在
(1)的证明过程中应用的两个互逆的定理为:
同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同旁内角互补.

8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线,$DE// AB$,$DF// AC$,$EF$ 交 $AD$ 于点 $O$.
(1)求证：$DO$ 是 $\angle EDF$ 的平分线.
(2)若将“$DO$ 是 $\angle EDF$ 的平分线”与“$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线”“$DE// AB$”或“$DF// AC$”中的任一条件交换,所得命题是真命题吗？若是,请选择一个证明；若不是,请说明理由.

答案：
(1)【证明】
∵DE//AB,DF//AC,
∴∠ADE=∠BAD,∠DAE=∠ADF.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAE=∠BAD,
∴∠ADE=∠ADF,
∴DO是∠EDF的平分线.
(2)【解】所得命题是真命题;
①选择命题:若DO是∠EDF的平分线,DE//AB,DF//AC,
则AD是∠BAC的平分线.
证明:
∵DE//AB,DF//AC,
∴∠ADE=∠BAD,∠DAE=∠ADF.
∵DO是∠EDF的平分线,
∴∠ADE=∠ADF,
∴∠DAE=∠BAD,
∴AD是∠BAC的平分线.
②选择命题:若AD是∠BAC的平分线,DO是∠EDF的平分线,DE//AB,则DF//AC.
证明:
∵AD是∠BAC的平分线,DO是∠EDF的平分线,
∴∠DAE=∠BAD,∠ADE=∠ADF,
∵DE//AB,
∴∠ADE=∠BAD,
∴∠DAE=∠ADF,
∴DF//AC;
③选择命题:若AD是∠BAC的平分线,DO是∠EDF的平分线,DF//AC,则DE//AB.
∵AD是∠BAC的平分线,DO是∠EDF的平分线,
∴∠DAE=∠BAD,∠ADE=∠ADF,
∵DF//AC,
∴∠DAE=∠ADF,
∴∠ADE=∠BAD,
∴DE//AB.