《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 已知下列结论：①在数轴上只能表示无理数$\sqrt{2}$；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个,无理数有有限个.其中正确的结论是(B)
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④

答案： B

2. 下列各组数中,互为相反数的是(A)
A.$-\sqrt{9}与\sqrt[3]{27}$
B.$\sqrt[3]{-8}与-\sqrt[3]{8}$
C.$|-\sqrt{3}|与\sqrt{3}$
D.$\sqrt{2}与\sqrt[3]{-8}$

答案： A

3. 新考法 数形结合法 如图,数轴上表示$0$,$1$,$\sqrt{3}的点分别为A$,$B$,$C$,点$B到点C的距离与点B到点D$的距离相等,则点$D$所表示的数为(C)

A.$\sqrt{3}-1$
B.$\sqrt{3}+1$
C.$2-\sqrt{3}$
D.$2+\sqrt{3}$

答案： C

4. 把下列各数填入相应的集合内：
$-1$,$\sqrt{3}$,$\pi$,$-3.14$,$\sqrt{9}$,$\sqrt{6}-\sqrt{2}$,$-\frac{\sqrt{2}}{2}$,$0.\dot{7}$.
(1)有理数集合…$\{$-1,-3.14,\sqrt{9},0.\dot{7}$\}$；
(2)无理数集合…$\{$\sqrt{3},\pi,\sqrt{6}-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}$\}$；
(3)正实数集合…$\{$\sqrt{3},\pi,\sqrt{9},\sqrt{6}-\sqrt{2},0.\dot{7}$\}$；
(4)负实数集合…$\{$-1,-3.14,-\frac{\sqrt{2}}{2}$\}$.

答案：
(1)$-1,-3.14,\sqrt{9},0.\dot{7}$
(2)$\sqrt{3},\pi,\sqrt{6}-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}$
(3)$\sqrt{3},\pi,\sqrt{9},\sqrt{6}-\sqrt{2},0.\dot{7}$
(4)$-1,-3.14,-\frac{\sqrt{2}}{2}$

5. 母题 教材 P85 练习 T2 求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1)$-\sqrt{9}$；(2)$-\pi$；(3)$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$；(4)$2-\sqrt{3}$.

答案： 【解】
(1)$-\sqrt{9}$的相反数是3,倒数是$-\frac{1}{3}$,绝对值是3.
(2)$-\pi$的相反数是$\pi$,倒数是$-\frac{1}{\pi}$,绝对值是$\pi$.
(3)$\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$的相反数是$\frac{2}{3}$,倒数是$-\frac{3}{2}$,绝对值是$\frac{2}{3}$.
(4)$2-\sqrt{3}$的相反数是$\sqrt{3}-2$,倒数是$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$,绝对值是$2-\sqrt{3}$.

6. 下列说法正确的是(C)

A.绝对值是$\sqrt{5}的数是\sqrt{5}$
B.$-\sqrt{2}的相反数是\pm\sqrt{2}$
C.$1-\sqrt{2}的绝对值是\sqrt{2}-1$
D.$\sqrt[3]{-64}的相反数是-4$

答案： C

7. 化简：$\left|-\frac{3}{\pi}\right|=$$\frac{3}{\pi}$；$|\sqrt[3]{-(-3)^3}|=$3.

答案： $\frac{3}{\pi};3$

8. 绝对值为$\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$的实数是$\pm\frac{3}{4}$.zyjl.cn/pic18/2025-09-16/e9d25c9af04bd4a966db8ced553ec5d4.jpg?x-oss-process=image/crop,x_1229,y_788,w_83,h_109">

答案： $\pm\frac{3}{4}$

9. [2025 北京海淀区校级月考] 实数$\sqrt[3]{-8}与\sqrt[3]{a}$互为倒数,则$a$的值是$-\frac{1}{8}$.

答案： $-\frac{1}{8}$【点拨】$\because\sqrt[3]{-8}$与$\sqrt[3]{a}$互为倒数,$\sqrt[3]{-8}=-2$,$\therefore-2×\sqrt[3]{a}=1$,$\therefore\sqrt[3]{a}=-\frac{1}{2}$,$\therefore a=-\frac{1}{8}$.

10. 如图,将面积为$7的正方形ABCD$放在数轴上,以表示实数$2的点C$为圆心,以正方形的边长为半径画弧,交数轴于点$E$,则点$E$表示的数为$2-\sqrt{7}$.
]

答案： $2-\sqrt{7}$【点拨】$\because$正方形$ABCD$的面积为7,$\therefore BC=\sqrt{7}$.$\therefore CB=CE=\sqrt{7}$.$\because$点$C$表示的数是2,点$E$在点$C$的左边,$\therefore$点$E$表示的数是$2-\sqrt{7}$.

11. 对于结论：当$a + b = 0$时,$a^3 + b^3 = 0$也成立.若将$a看成a^3$的立方根,$b看成b^3$的立方根,由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数,那么这两个数也互为相反数”.
(1)举一个具体的例子来验证上述结论成立；
(2)若$\sqrt[3]{1 + y}和\sqrt[3]{2y - 7}$互为相反数,且$x + 3$的平方根是它本身,求$x + y$的立方根.

答案： 【解】
(1)如$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{-2}=0$,则$2+(-2)=0$,即2与$-2$互为相反数.$\therefore$“如果两数的立方根互为相反数,那么这两个数也互为相反数”成立.
(2)$\because\sqrt[3]{1+y}$和$\sqrt[3]{2y-7}$互为相反数,$\therefore\sqrt[3]{1+y}+\sqrt[3]{2y-7}=0$.$\therefore1+y+2y-7=0$,解得$y=2$.$\because x+3$的平方根是它本身,$\therefore x+3=0$.$\therefore x=-3$.$\therefore x+y=-3+2=-1$.$\therefore x+y$的立方根是$-1$.