《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

11. 新考法 分类讨论法 如图,在3×3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中的△ABC为格点三角形,在图中与△ABC成轴对称的格点三角形最多能画出( )

A.6个
B.5个
C.4个
D.3个

答案：
A 【点拨】如图,与△ABC 成轴对称的格点三角形A'B'C'最多能画出 6 个.故选 A.

12. 在一节折纸活动课上,小思将如图①的正方形纸片两边对折至对角线,得到如图②的四边形,再将其一角对折,使对面两角的顶点重合,得到如图③的五边形,则图③中的∠1大小为45°.

答案： 45

13. 如图,点P在∠AOB的内部,点M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点,线段MN分别交OA,OB于点E,F.
(1)若MN= 20 cm,求△PEF的周长；
(2)若∠AOB= 35°,求∠EPF的度数.

答案：
【解】
(1)
∵点 M,N 分别是点 P 关于直线 OA,OB 的对称点,
∴ME=PE,NF=PF.
∴PE+EF+PF=ME+EF+NF=MN=20 cm,即△PEF 的周长是 20 cm.
(2)如图,设 MP 与 OA 相交于点 R,PN 与 OB 相交于点 T.由
(1)知 ME=PE,NF=PF,
∴∠M=∠EPM,∠N=∠FPN.
∴∠PEF=2∠M,∠PFE=2∠N.由题意知∠PRE=∠PTF=90°,
∴在四边形 OTPR 中,易得∠MPN+∠AOB=180°.又
∵∠MPN+∠M+∠N=180°,
∴∠M+∠N=∠AOB=35°.
∴∠EPF=180°-(∠PEF+∠PFE)=180°-2(∠M+∠N)=180°-2×35°=110°.

14. 新视角 新定义型题 【定义】如图①,OM平分∠AOB,则称射线OB,OA关于OM对称.
【理解题意】
(1)如图①,射线OB,OA关于OM对称且∠AOB= 45°,则∠AOM= ______°；
【应用实际】
(2)如图②,若∠AOB= 45°,OP在∠AOB内部$,OP,OP_1$关于OB对称$,OP,OP_2$关于OA对称,求$∠P_1OP_2$的度数；
(3)如图③,若∠AOB= 45°,OP在∠AOB外部,且$0°＜∠AOP＜45°,OP,OP_1$关于OB对称$,OP,OP_2$关于OA对称,求$∠P_1OP_2$的度数；
【拓展提升】
(4)如图④,若$∠AOB= 45°,OP,OP_1$关于∠AOB的OB边对称$,∠AOP_1= 4∠BOP_1,$求∠AOP的度数(直接写出答案).

答案：
【解】
(1)22.5
(2)
∵OP 和 OP₁关于 OB 对称,
∴∠POP₁=2∠BOP.
∵OP 和 OP₂关于 OA 对称,
∴∠POP₂=2∠AOP.
∵∠P₁OP₂=∠POP₁+∠POP₂,
∴∠P₁OP₂=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°.
(3)
∵OP 和 OP₁关于 OB 对称,
∴∠POP₁=2∠BOP.
∵OP 和 OP₂关于 OA 对称,
∴∠POP₂=2∠AOP.
∵∠P₁OP₂=∠POP₁-∠POP₂,
∴∠P₁OP₂=2∠BOP-2∠AOP=2∠AOB=90°.
(4)∠AOP 的度数为 30°或 54°. 【点拨】当 OP 在∠AOB 内部时,如图①.
∵OP,OP₁关于 OB 对称,
∴∠BOP=∠BOP₁.
∵∠AOP₁=4∠BOP₁,∠AOP₁=∠AOB+∠BOP₁,
∴∠AOB=3∠BOP₁=45°.
∴∠BOP₁=15°.
∴∠BOP=15°.
∴∠AOP=∠AOB-∠BOP=30°.

当 OP 在∠AOB 外部时.
∵∠AOP₁=4∠BOP₁,
∴射线 OP 在射线 OB 的上面,如图②.
∵OP,OP₁关于 OB 对称,
∴∠BOP=∠BOP₁.
∵∠AOP₁=4∠BOP₁,
∴∠AOB=∠BOP₁+∠AOP₁=5∠BOP₁=45°.
∴∠BOP₁=9°.
∴∠BOP=9°.
∴∠AOP=45°+9°=54°.综上所述,∠AOP 的度数为 30°或 54°.