《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

7. 解方程：$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}+1}-\frac{4}{x^{4}+1}= \frac{4x}{x^{8}-1}$。

答案： 【解】$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}+1}-\frac{4}{x^{4}+1}=\frac{4x}{x^{8}-1}$，$\frac{x+1-x+1}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+1}-\frac{4}{x^{4}+1}=\frac{4x}{x^{8}-1}$，$\frac{2}{x^{2}-1}-\frac{2}{x^{2}+1}-\frac{4}{x^{4}+1}=\frac{4x}{x^{8}-1}$，$\frac{4}{x^{4}-1}-\frac{4}{x^{4}+1}=\frac{4x}{x^{8}-1}$，$\frac{8}{x^{8}-1}=\frac{4x}{x^{8}-1}$，$\therefore 4x=8$，$\therefore x=2$．经检验，$x=2$是原方程的根．

8. 解方程：$\frac{x-1}{x+3}-\frac{x+3}{x-1}= 0$。

答案： 【解】设$\frac{x-1}{x+3}=y$，则原方程化为$y-\frac{1}{y}=0$，$\therefore y^{2}-1=0$，解得$y=\pm 1$．经检验，$y=\pm 1$是方程$y-\frac{1}{y}=0$的根．当$y=1$时，$\frac{x-1}{x+3}=1$．此方程无解；当$y=-1$时，$\frac{x-1}{x+3}=-1$，解得$x=-1$．经检验，$x=-1$是方程$\frac{x-1}{x+3}=-1$的根．$\therefore$原方程的解为$x=-1$．

9. 解方程：$\frac{1}{x+10}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+…+\frac{1}{(x+9)(x+10)}= 2$。

答案： 【解】原方程可变形为$\frac{1}{x+10}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\cdots+\frac{1}{x+9}-\frac{1}{x+10}=2$．$\therefore \frac{1}{x+1}=2$．$\therefore x=-\frac{1}{2}$．经检验，$x=-\frac{1}{2}$是原方程的根．

10. 解方程：$\frac{12x-10}{4x-3}+\frac{32x-34}{8x-9}= \frac{24x-23}{8x-7}+\frac{16x-19}{4x-5}$。

答案： 【解】原方程可化为$3-\frac{1}{4x-3}+4+\frac{2}{8x-9}=3-\frac{2}{8x-7}+4+\frac{1}{4x-5}$，即$\frac{2}{8x-9}-\frac{2}{8x-6}=\frac{2}{8x-10}-\frac{2}{8x-7}$，$\therefore \frac{6}{(8x-9)(8x-6)}=\frac{6}{(8x-10)(8x-7)}$．$\therefore (8x-9)(8x-6)=(8x-10)(8x-7)$，解得$x=1$．经检验，$x=1$是原方程的根．

11. 解方程：$\frac{6y+12}{y^{2}+4y+4}-\frac{y^{2}-4}{y^{2}-4y+4}+\frac{y^{2}}{y^{2}-4}= 0$。

答案： 【解】原方程可变形为$\frac{6(y+2)}{(y+2)^{2}}-\frac{(y+2)(y-2)}{(y-2)^{2}}+\frac{y^{2}}{(y+2)(y-2)}=0$．约分，得$\frac{6}{y+2}-\frac{y+2}{y-2}+\frac{y^{2}}{(y+2)(y-2)}=0$．方程两边都乘$(y+2)(y-2)$，得$6(y-2)-(y+2)^{2}+y^{2}=0$．整理，得$2y=16$，$\therefore y=8$．经检验，$y=8$是原方程的根．