《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

7. 如图,已知线段 $ a $,$ b $ 和 $ \angle \alpha $.
求作：$ \triangle ABC $,使得 $ \angle A = \angle \alpha $,$ AB = a + b $,$ AC = b $.(不写作法,保留作图痕迹)
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答案：
【解】如图，△ABC 即为所求.

8. 某段河流的两岸是平行的,数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度.他们是这样做的(如图所示)：①在河流的一条岸边 $ B $ 点,选对岸正对($ \angle ABC = 90^\circ $)的一棵树 $ A $；②沿河岸直走 100 步有一棵树 $ C $,继续前行 100 步到达 $ D $ 处；③从 $ D $ 处沿河岸垂直的方向行走,当到达 $ A $ 树正好被 $ C $ 树遮挡住的 $ E $ 处停止行走.
(1)只需测量 $ \triangle CDE $ 的哪条边长,就可以得到河宽 $ AB $？
(2)请你证明他们做法的正确性.
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答案：
(1)【解】只需测量△CDE 的 DE 边长,就可以得到河宽 AB.
(2)【证明】由作法知,BC=DC,∠ABC=∠EDC=90°,在△ABC 和△EDC 中,$\left\{\begin{array}{l} ∠ABC=∠EDC=90°,\\ BC=DC,\\ ∠ACB=∠ECD,\end{array}\right. $
∴△ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=ED,即他们的做法是正确的.

9. 如图,已知 $ AB = AE $,$ \angle C = \angle D $,$ BC = ED $,点 $ F $ 是 $ CD $ 的中点.求证：$ AF $ 平分 $ \angle BAE $.
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答案： 【证明】连接 BF,EF.
∵点 F 是 CD 的中点,
∴CF=DF.在△BCF 和△EDF 中,$\left\{\begin{array}{l} BC=ED,\\ ∠C=∠D,\\ CF=DF,\end{array}\right. $
∴△BCF≌△EDF(SAS).
∴BF=EF.在△ABF 和△AEF 中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AE,\\ BF=EF,\\ AF=AF,\end{array}\right. $
∴△ABF≌△AEF(SSS).
∴∠BAF=∠EAF.
∴AF 平分∠BAE.

10. 如图,$ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,$ AC = 6 $,$ BC = 8 $.点 $ P $ 从点 $ A $ 出发沿 $ A - C - B $ 路径向终点 $ B $ 运动；点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发沿 $ B - C - A $ 路径向终点 $ A $ 运动.点 $ P $ 和 $ Q $ 分别以每秒 1 个单位长度和每秒 3 个单位长度的运动速度同时开始运动,两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过 $ P $ 和 $ Q $ 作 $ PE \perp l $ 于 $ E $,$ QF \perp l $ 于 $ F $.问：点 $ P $ 运动多少时间时,$ \triangle PEC $ 与 $ \triangle QFC $ 全等？
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答案： 【解】设运动时间为 t s.由题意易得当△PEC 与△QFC 全等时,斜边 CP=CQ.有三种情况:①点 P 在 AC 上,点 Q 在 BC 上,此时 CP=6 - t,CQ=8 - 3t,所以 6 - t=8 - 3t.所以 t=1;②点 P,Q 都在 AC 上,易知此时点 P,Q 重合,CP=6 - t,CQ=3t - 8,所以 6 - t=3t - 8.所以 t=3.5;③点 Q 在 AC 上,点 P 在 BC 上.因为点 P 运动到点 C 需要 6÷1=6(s),点 Q 运动到点 A,需要$\frac {6 + 8}{3}=\frac {14}{3}(s)$.$\frac {14}{3}＜6$,所以点 P 在 BC 上时,点 Q 与点 A 重合.故此时 CQ=6,CP=t - 6.所以 6=t - 6.所以 t=12.综上,点 P 运动 1 s 或 3.5 s 或 12 s 时,△PEC 与△QFC 全等.