《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

15. 课堂上,老师出了一道题：比较 $\frac{\sqrt{19}-2},{3}$ 与 $\frac{2},{3}$ 的大小.
小荣的解法如下：
解：$\frac{\sqrt{19}-2},{3}-\frac{2},{3}= \frac{\sqrt{19}-2 - 2},{3}= \frac{\sqrt{19}-4},{3}$.
$\because 19＞16,\therefore \sqrt{19}＞4,\therefore \sqrt{19}-4＞0$,
$\therefore \frac{\sqrt{19}-4},{3}＞0,\therefore \frac{\sqrt{19}-2},{3}＞\frac{2},{3}$.
我们把这种比较大小的方法称为作差法.
请利用上述方法比较实数 $\frac{\sqrt{94}-3},{9}$ 与 $\frac{2},{3}$ 的大小.

答案： 【解】√94-3/9-2/3=√94-3/9-6/9=√94-9/9.
∵94＞81,
∴√94＞9,
∴√94-9＞0,
∴√94-9/9＞0,
∴√94-3/9＞2/3.

16. 如图所示的是某数学兴趣小组的一次探究性活动.请你根据该小组的探究方法,探究下列问题：
已知 $9\pi$ 的整数部分为 $a,\sqrt[3]{28}$ 的小数部分为 $b$,求 $a + b$ 的值.

答案： 【解】
∵9π≈9×3.14=28.26,
∴9π的整数部分是28,即a=28.
∵27＜28＜64,
∴³√27＜³√28＜³√64,即3＜³√28＜4.
∴³√28的整数部分是3.
∴³√28的小数部分是³√28-3,即b=³√28-3.
∴a+b=28+³√28-3=25+³√28.

17. 观察下列一组等式,解答后面的问题：
$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)= 1$,
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})= 1$,
$(\sqrt{4}+\sqrt{3})(\sqrt{4}-\sqrt{3})= 1$,
$(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})= 1$,
…
(1)观察上列各式计算,利用了平方差公式,小明想利用上面的规律使 $\frac{1},{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}$ 的分母中不含根号,请你帮小明实现他的想法(写出过程)；
(2)根据上面的规律,计算下列式子的值：

(3)利用上面的规律,比较 $\sqrt{2026}-\sqrt{2025}$ 与 $\sqrt{2027}-\sqrt{2026}$ 的大小.

答案： 【解】
(1)平方差 1/√n+1+√n=√n+1-√n/(√n+1+√n)(√n+1-√n)=√n+1-√n.
(2)(1/√2+1+1/√3+√2+1/√4+√3+…+1/√2026+√2025)(√2026+1)=(√2-1+√3-√2+√4-√3+…+√2026-√2025)(√2026+1)=(√2026-1)(√2026+1)=2026-1=2025.
(3)
∵√2026-√2025=(√2026-√2025)(√2026+√2025)/√2026+√2025=1/√2026+√2025,√2027-√2026=(√2027-√2026)(√2027+√2026)/√2027+√2026=1/√2027+√2026,√2026+√2025＜√2027+√2026,
∴√2026-√2025＞√2027-√2026.