《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 化简$(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y})(x^{2} - y^{2})$的结果是(D)
A.$2x$
B.$-2x$
C.$-2y$
D.$2y$

答案： D

2. 若分式$\frac{x^{2}}{x + 1}□\frac{x}{x + 1}的运算结果为x(x\neq0)$,则在“$□$”中添加的运算符号为(C)
A.$+或×$
B.$-或÷$
C.$+或÷$
D.$-或×$

答案： C [点拨]$\frac{x^{2}}{x + 1} + \frac{x}{x + 1} = \frac{x(x + 1)}{x + 1} = x$，$\frac{x^{2}}{x + 1} ÷ \frac{x}{x + 1} = \frac{x^{2}}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x} = x$，故选C。

3. [2025衡水校级月考]小明在纸上书写了一个正确的演算过程,同桌小亮一不小心撕坏了一角,如图所示,则撕坏的一角中“■”为( )


A.$\frac{1}{a - 4}$
B.$\frac{4}{a + 1}$
C.$\frac{1}{4 - a}$
D.$-\frac{1}{a + 1}$

答案：
A [点拨]撕坏的一角中 ”为$\frac{1}{a - 4} × (5 - a) + 1 = \frac{5 - a + a - 4}{a - 4} = \frac{1}{a - 4}$，故选A。

4. 新考法 整体代入法 若$a - b = 1$,则$(\frac{b^{2}}{a} - a)\cdot\frac{2a}{a + b}$的值为-2。

答案： -2

5. 新视角 结论开放题 小明在化简分式$\frac{m}{m - 2} - \frac{2}{m - 2}\cdot□$时,发现最终结果是整式,则$□$表示的式子可以是$m - 1$(答案不唯一)。

答案： $m - 1$(答案不唯一)

6. 计算：
(1) [2024重庆] $(1 + \frac{2}{x - 2})÷\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4x + 4}$；
(2) $\frac{2m + 1}{m} - (2 - m)÷\frac{-m^{2} + 4m - 4}{m^{2} - 4}$。

答案： [解]
(1)原式$=\frac{x - 2 + 2}{x - 2} \cdot \frac{(x - 2)^{2}}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$。
(2)原式$=\frac{2m + 1}{m} - (2 - m) × \frac{(m + 2)(m - 2)}{-(m - 2)^{2}} = \frac{2m + 1}{m} - (m + 2) = \frac{2m + 1}{m} - \frac{m(m + 2)}{m} = \frac{1 - m^{2}}{m}$。

7. [2024遂宁]先化简：$(1 - \frac{1}{x - 1})÷\frac{x - 2}{x^{2} - 2x + 1}$,再从$1$,$2$,$3中选择一个合适的数作为x$的值代入求值。

答案： [解]$(1 - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{x - 2}{x^{2} - 2x + 1} = \frac{x - 1 - 1}{x - 1} \cdot \frac{(x - 1)^{2}}{x - 2} = x - 1$。
$\because x \neq 1$且$x \neq 2$，
$\therefore$当$x = 3$时，原式$= 3 - 1 = 2$。

8. 已知$a$为整数,且$\frac{a + 3}{a - 5} - \frac{a - 5}{a + 2}÷\frac{a^{2} - 10a + 25}{a^{2} - 4}$为正整数,则所有符合条件的$a$的值的和为(16)
A.$4$
B.$8$
C.$12$
D.$16$

答案： D [点拨]$\frac{a + 3}{a - 5} - \frac{a - 5}{a + 2} ÷ \frac{a^{2} - 10a + 25}{a^{2} - 4} = \frac{a + 3}{a - 5} - \frac{a - 5}{a + 2} ÷ \frac{(a - 5)^{2}}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a + 3}{a - 5} - \frac{a - 5}{a + 2} \cdot \frac{(a - 2)(a + 2)}{(a - 5)^{2}} = \frac{a + 3}{a - 5} - \frac{a - 2}{a - 5} = \frac{a + 3 - a + 2}{a - 5} = \frac{5}{a - 5}$。
$\because a$为整数，且$\frac{a + 3}{a - 5} - \frac{a - 5}{a + 2} ÷ \frac{a^{2} - 10a + 25}{a^{2} - 4}$为正整数，
$\therefore a - 5 = 1$或$a - 5 = 5$。$\therefore a = 6$或$a = 10$。
$\therefore$所有符合条件的$a$的值的和为$6 + 10 = 16$。

9. 新考法 新定义计算法 定义一种新运算：$f(x)= \frac{x^{2} + 1}{x}$,$g(x)= \frac{x^{2} - 1}{x}$,例如：当$x = 1$时,$f(1)= \frac{1^{2} + 1}{1}= 2$,$g(1)= \frac{1^{2} - 1}{1}= 0$。则下列说法正确的有(①③)
①$f(2) - g(2)= 1$；
②当$f(m)= - 2$时,$g(m)= 2$；
③当$f(m_{1}) + f(m_{2}) + … + f(m_{n})= 1024$,$g(m_{1}) + g(m_{2}) + … + g(m_{n})= 1026$时,$(m_{1} + m_{2} + … + m_{n})(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} + … + \frac{1}{m_{n}})= - 1025$。
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个

答案： C [点拨]①当$x = 2$时，$f(2) - g(2) = \frac{2^{2} + 1}{2} - \frac{2^{2} - 1}{2} = 1$，故①正确；②$f(m) = \frac{m^{2} + 1}{m} = -2$，即$m^{2} + 2m + 1 = 0$，解得$m = -1$。$\therefore g(m) = \frac{(-1)^{2} - 1}{-1} = 0$，故②错误；③$\because f(x) = \frac{x^{2} + 1}{x}$，$g(x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$，$\therefore f(x) + g(x) = \frac{x^{2} + 1 + x^{2} - 1}{x} = 2x$，$f(x) - g(x) = \frac{x^{2} + 1 - x^{2} + 1}{x} = \frac{2}{x}$。
$f(m_{1}) + f(m_{2}) + \cdots + f(m_{n}) = 1024$(i)，$g(m_{1}) + g(m_{2}) + \cdots + g(m_{n}) = 1026$(ii)，i + ii，得$2(m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{n}) = 2050$，即$m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{n} = 1025$，i - ii，得$2(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} + \cdots + \frac{1}{m_{n}}) = -2$，即$\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} + \cdots + \frac{1}{m_{n}} = -1$，$\therefore (m_{1} + m_{2} + \cdots + m_{n})(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} + \cdots + \frac{1}{m_{n}}) = -1025$，故③正确。综上，正确的说法有2个。

10. 新视角 规律探究题 已知$a_{1}= x + 1(x\neq0且x\neq - 1)$,$a_{2}= \frac{1}{1 - a_{1}}$,$a_{3}= \frac{1}{1 - a_{2}}$,…$$,$a_{n}= \frac{1}{1 - a_{n - 1}}$,则$a_{2025}$的值为$\frac{x}{x + 1}$。

答案： $\frac{x}{x + 1}$ [点拨]$\because a_{1} = x + 1$，
$\therefore a_{2} = \frac{1}{1 - a_{1}} = \frac{1}{1 - (x + 1)} = -\frac{1}{x}$。
$\therefore a_{3} = \frac{1}{1 - a_{2}} = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{x})} = \frac{x}{x + 1}$。
$\therefore a_{4} = \frac{1}{1 - a_{3}} = \frac{1}{1 - \frac{x}{x + 1}} = \frac{1}{\frac{1}{x + 1}} = x + 1$。
$\therefore a_{5} = \frac{1}{1 - a_{4}} = \frac{1}{1 - (x + 1)} = -\frac{1}{x}$，$\cdots$
由上可得，每三个为一个循环。
$\because 2025 ÷ 3 = 675$，$\therefore a_{2025} = \frac{x}{x + 1}$。