《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 如图,一个风筝的形状是四边形 $ABCD$,其中 $AB = AD$,$BC = DC$,分别在 $AB$,$AD$ 的中点 $E$,$F$ 处挂两根彩线 $EC$,$FC$。试说明：$EC = FC$。

答案：
【解】如图,连接AC.
在△ABC和△ADC中,$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
所以$△ABC\cong △ADC(SSS).$
所以$∠EAC=∠FAC.$
因为E,F分别是AB,AD的中点,
所以$AE=\frac {1}{2}AB,AF=\frac {1}{2}AD.$
又因为$AB=AD$,所以$AE=AF.$
在$△AEC$和$△AFC$中,$\left\{\begin{array}{l} AE=AF,\\ ∠EAC=∠FAC,\\ AC=AC,\end{array}\right. $
所以$△AEC\cong △AFC(SAS)$.所以$EC=FC.$

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AC = BC$,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D$ 是 $AC$ 上的一点,且 $AE$ 垂直于 $BD$ 交 $BD$ 的延长线于点 $E$,$AE = \frac{1}{2}BD$。试说明：$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线。

答案： 【解】延长AE,BC交于点F.
因为$∠ACB=90^{\circ },AE⊥BE,$
所以$∠BCD=∠AEB=∠FEB=∠ACF=90^{\circ }.$
又因为$∠CDB=∠ADE$,所以$∠CBD=∠CAE.$
又因为$BC=AC$,所以$△BCD\cong △ACF(ASA).$
所以$BD=AF.$
又因为$AE=\frac {1}{2}BD$,所以$AE=\frac {1}{2}AF$.所以$AE=EF.$
又因为$∠AEB=∠FEB=90^{\circ },BE=BE,$
所以$△BAE\cong △BFE(SAS)$.所以$∠ABE=∠FBE,$
即BD是$∠ABC$的平分线.

3. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,过点 $D$ 作 $DE \perp AC$ 交 $BC$ 于点 $E$。若 $DE = BC$,$AC = 4$,$S_{\triangle CDE} = 6$,求 $CE$ 的长。

答案： 【解】过点D作$DH⊥BC$于点H,则$∠EHD=90^{\circ }.$
因为$∠BAC=90^{\circ }$,所以$∠BAC=∠EHD.$
因为$AB⊥AC,DE⊥AC,$
所以$AB// DE$.所以$∠B=∠DEH.$
又因为$BC=ED,∠BAC=∠EHD,$
所以$△ABC\cong △HED(AAS)$.所以$AC=HD=4.$
因为$S_{△CDE}=6$,所以$CE\cdot HD=12$.所以$CE=3.$

4. 如图,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,点 $E$ 在 $BC$ 的延长线上,$CE = AB$,$\angle BAC = \angle BCA$,试说明：$AE = 2AD$。

答案：
【解】如图,延长AD至点M,使$DM=AD$,连接CM.
因为AD是$△ABC$的中线,所以BD$=CD.$
又因为$∠ADB=∠MDC,AD=DM,$
所以$△ABD\cong △MCD(SAS)$.所以$MC=AB,∠B=∠MCD.$
因为$AB=CE$,所以$CM=CE.$
因为$∠BAC=∠BCA,$
所以$∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD=∠ACM.$
因为$∠B+∠BAC+∠BCA=180^{\circ },∠BCA+∠ACE=180^{\circ },$
所以$∠ACE=∠B+∠BAC.$
所以$∠ACM=∠ACE.$
又因为$AC=AC,CM=CE,$
所以$△ACM\cong △ACE(SAS)$.所以$AM=AE.$
因为$AM=2AD$,所以$AE=2AD.$