《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

12. 八(1)班同学在“2025义卖”活动中表现特别突出,他们设计了甲、乙两款纪念品.销售一件甲纪念品可获利16%；销售一件乙纪念品可获利24%.当销售量的比为$3:2$时,总获利为18%.当销售量的比为$1:3$时,总获利为______20.8%.

答案： 20.8% 【点拨】设一件甲纪念品的成本为a元,一件乙纪念品的成本为b元,则$\frac {a×16\% ×3+b×24\% ×2}{3a+2b}=18\% $,解得$a=2b$,当销售量的比为1:3时,总获利为$\frac {a×16\% ×1+b×24\% ×3}{a+3b}=\frac {2b×16\% ×1+b×24\% ×3}{2b+3b}=\frac {104\% ×b}{5b}=20.8\% .$

13. (10分)解分式方程：
(1)$\frac{2}{1 - x}+\frac{1}{x}= 0$；
(2)$\frac{x}{x - 1}+\frac{3}{(x - 1)(x - 4)}= 1$.

答案：
(1)去分母,得$2x+1-x=0$,解得$x=-1,$经检验,$x=-1$是原方程的根.
(2)去分母,得$x(x-4)+3=(x-1)(x-4),$整理,得$x^{2}-4x+3=x^{2}-5x+4$,解得$x=1,$经检验,$x=1$是原方程的增根,
∴原分式方程无解.

14. (10分)已知关于x的方程$\frac{2}{x + 4}= \frac{m}{x}与方程\frac{3}{2x}-\frac{1}{x - 1}= 0$的解相同,求$m^{2}-2m$的值.

答案： $\frac {3}{2x}-\frac {1}{x-1}=0,$$3(x-1)-2x=0$,解得$x=3.$经检验,$x=3$是原方程的根.
∵两个方程的解相同,
∴把$x=3$代入$\frac {2}{x+4}=\frac {m}{x}$,得$\frac {2}{7}=\frac {m}{3}$,解得$m=\frac {6}{7},$$\therefore m^{2}-2m=\frac {36}{49}-\frac {12}{7}=-\frac {48}{49}.$

15. (12分)为方便群众出行,甲,乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线,已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍,如果两队各自修建快线600m,甲队比乙队少用4天.
(1)求甲,乙两个工程队每天各修路多少米；
(2)现计划再修建长度为3000m的快线,由甲,乙两个工程队来完成.若甲队每天所需费用为1万元,乙队每天所需费用为0.6万元,求在总费用不超过38万元的情况下,至少安排乙工程队施工多少天.

答案：
(1)设乙工程队每天修路xm,则甲工程队每天修路1.5xm,依题意,得$\frac {600}{x}-\frac {600}{1.5x}=4$.解得$x=50,$经检验,$x=50$是原方程的解.$\therefore 1.5x=75.$
∴甲工程队每天修路75m,乙工程队每天修路50m.
(2)设安排乙工程队施工m天,则安排甲工程队施工的天数为$\frac {3000-50m}{75}$,依题意,得$0.6m+\frac {3000-50m}{75}×1≤38$.解得$m≥30.$
∴至少安排乙工程队施工30天.

16. (16分)关于x的方程$x+\frac{1}{x}= c+\frac{1}{c}的解是x = c或x= \frac{1}{c}$；$x+\frac{2}{x}= c+\frac{2}{c}的解是x = c或x= \frac{2}{c}$；$x+\frac{3}{x}= c+\frac{3}{c}的解是x = c或x= \frac{3}{c}$；…
(1)请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程$x+\frac{n}{x}= m+\frac{n}{m}(m\neq0,n\neq0)$与它们的关系,猜想它的解是什么(直接写出答案)？并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)请利用这个结论解关于x的方程：$x-\frac{2}{x - 3}= a-\frac{2}{a - 3}(a\neq3)$.

答案：
(1)关于x的方程$x+\frac {n}{x}=m+\frac {n}{m}(m≠0,n≠0)$的解是$x=m$或$x=\frac {n}{m}.$检验:当$x=m$时,左边$=m+\frac {n}{m}$,右边$=m+\frac {n}{m}$,左边=右边,所以$x=m$是方程的解.当$x=\frac {n}{m}$时,左边$=\frac {n}{m}+\frac {n}{\frac {n}{m}}=\frac {n}{m}+m$,右边$=m+\frac {n}{m}$,左边=右边,所以$x=\frac {n}{m}$是方程的解.即关于x的方程$x+\frac {n}{x}=m+\frac {n}{m}(m≠0,n≠0)$的解是$x=m$或$x=\frac {n}{m}.$
(2)$x-\frac {2}{x-3}=a-\frac {2}{a-3}(a≠3),$$(x-3)+\frac {-2}{x-3}=(a-3)+\frac {-2}{a-3},$所以$x-3=a-3$或$x-3=\frac {-2}{a-3},$解得$x=a$或$x=\frac {3a-11}{a-3}.$经检验,$x=a$或$x=\frac {3a-11}{a-3}$是方程的解.