《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 计算：$\frac{a^{4}+a^{3}b - a^{2}b^{2}-ab^{3}}{a^{3}b + ab^{3}+2a^{2}b^{2}}-\frac{a^{3}-ab^{2}}{a^{2}b - b^{3}}$。

答案： 【解】原式=$\frac{a^{3}(a+b)-ab^{2}(a+b)}{ab(a+b)^{2}}-\frac{a(a^{2}-b^{2})}{b(a^{2}-b^{2})}$
=$\frac{a(a+b)(a^{2}-b^{2})}{ab(a+b)^{2}}-\frac{a}{b}$
=$\frac{a(a+b)^{2}(a-b)}{ab(a+b)^{2}}-\frac{a}{b}$
=$\frac{a-b}{b}-\frac{a}{b}=\frac{-b}{b}=-1$.
点方法 直接通分,极其烦琐.通过观察,发现各个分式并非最简分式,可先化简,化简后再计算会简便许多.

2. 计算：$\frac{1}{x - 2}-\frac{2}{x - 1}+\frac{2}{x + 1}-\frac{1}{x + 2}$。

答案： 【解】原式=$(\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x-1})+(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2})$
=$\frac{2(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}+\frac{(x+2)-(x-2)}{(x-2)(x+2)}$
=$\frac{-4}{x^{2}-1}+\frac{4}{x^{2}-4}$
=$\frac{-4(x^{2}-4)+4(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)(x^{2}-4)}$
=$\frac{12}{(x^{2}-1)(x^{2}-4)}$.

3. 计算：$\frac{1}{a - x}-\frac{1}{a + x}-\frac{2x}{a^{2}+x^{2}}-\frac{4x^{3}}{a^{4}-x^{4}}$。

答案： 【解】原式=$\frac{a+x-a+x}{a^{2}-x^{2}}-\frac{2x}{a^{2}+x^{2}}-\frac{4x^{3}}{a^{4}-x^{4}}$
=$\frac{2x}{a^{2}-x^{2}}-\frac{2x}{a^{2}+x^{2}}-\frac{4x^{3}}{a^{4}-x^{4}}$
=$\frac{2x(a^{2}+x^{2}-a^{2}+x^{2})}{a^{4}-x^{4}}-\frac{4x^{3}}{a^{4}-x^{4}}$
=$\frac{4x^{3}}{a^{4}-x^{4}}-\frac{4x^{3}}{a^{4}-x^{4}}$
=0.

4. 计算：$\frac{x + 2}{x + 1}-\frac{x + 3}{x + 2}+\frac{x - 5}{x - 4}-\frac{x - 4}{x - 3}$。

答案： 【解】原式=$\frac{x+1+1}{x+1}-\frac{x+2+1}{x+2}+\frac{x-4-1}{x-4}-\frac{x-3-1}{x-3}$
=$(1+\frac{1}{x+1})-(1+\frac{1}{x+2})+(1-\frac{1}{x-4})-(1-\frac{1}{x-3})$
=$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-4}+\frac{1}{x-3}$
=$\frac{x+2-(x+1)}{(x+1)(x+2)}-\frac{x-3-(x-4)}{(x-4)(x-3)}$
=$\frac{1}{(x+1)(x+2)}-\frac{1}{(x-3)(x-4)}$
=$\frac{(x-3)(x-4)-(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)}$
=$\frac{x^{2}-7x+12-x^{2}-3x-2}{(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)}$
=$\frac{-10(x-1)}{(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)}$.

5. 计算：$\frac{1}{x^{2}+x}+\frac{1}{x^{2}+3x + 2}+\frac{1}{x^{2}+5x + 6}+\frac{1}{x^{2}+7x + 12}$。

答案： 【解】原式=$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+4}=\frac{4}{x(x+4)}$.

6. 化简：$\frac{a^{2}}{a - 1}-a - 1$。

答案： 【解】原式=$\frac{a^{2}}{a-1}-\frac{a+1}{1}=\frac{a^{2}}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=\frac{a^{2}-a^{2}+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}$.

7. [2025 沧州校级模拟]已知$x + 2y + 2 = 0$,求代数式$\left(x-\frac{4y^{2}}{x}\right)\cdot\frac{2x}{x - 2y}$的值。

答案： 【解】$(x-\frac{4y^{2}}{x})\cdot \frac{2x}{x-2y}$
=$\frac{x^{2}-4y^{2}}{x}\cdot \frac{2x}{x-2y}$
=$\frac{(x+2y)(x-2y)}{x}\cdot \frac{2x}{x-2y}$
=$2(x+2y)$.
∵$x+2y+2=0$,
∴$x+2y=-2$.
∴原式=$2(x+2y)=2× (-2)=-4$.
点方法 用整体代入法求分式的值是最常用的方法,原因是分式可以约分.当不能求出分式中各个字母的值时,可以考虑利用整体代入法,虽然分子和分母中都含有字母,但通过约分可以求出其值.