《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

9. 已知 $\triangle ABC$ 的高 $AD$,$BE$ 所在的直线交于点 $F$,若 $BF = AC$,求 $\angle ABC$ 的度数。

答案：
【解】①当∠ABC为锐角时,如图①.因为AD,BE是高,所以∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°.所以∠C+∠CBE=90°,∠C+∠CAD=90°.所以∠CBE=∠CAD.又因为BF=AC,所以△BDF≌△ADC.所以BD=AD.所以∠ABD=45°,即∠ABC=45°； ②当∠ABC为钝角时,如图②,同理可证△BDF≌△ADC,所以BD=AD,所以∠ABD=45°.所以∠ABC=135°.综上所述,∠ABC的度数为45°或135°.

10. 已知,在 $\triangle OPQ$ 中,$OP = OQ$,$OP$ 的垂直平分线交 $OP$ 于点 $D$,交直线 $OQ$ 于点 $E$,$\angle OEP = 50^{\circ}$,求 $\angle POQ$ 的度数。

答案：
【解】①如图①,当△OPQ为锐角三角形时.因为DE垂直平分OP,所以∠ODE=∠PDE=90°,OE=PE.所以∠OED=∠PED=$\frac{1}{2}$∠OEP.又因为∠OEP=50°,所以∠OED=∠PED=25°.所以∠EOD=180° - 90° - 25°=65°,即∠POQ=65°； ②如图②,当△OPQ为钝角三角形时.因为DE垂直平分OP,所以∠ODE=∠PDE=90°,OE=PE.所以∠OED=∠PED=$\frac{1}{2}$∠OEP.又因为∠OEP=50°,所以∠OED=∠PED=25°.所以∠EOD=180° - 90° - 25°=65°.所以∠POQ=180° - 65°=115°.综上,∠POQ的度数为65°或115°.

11. 在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$AC$ 边上的中线 $BD$ 把 $\triangle ABC$ 的周长分为 $24\ cm$ 和 $30\ cm$ 的两部分,求 $BC$ 的长。

答案： 【解】因为BD为AC边上的中线,所以AD=DC=$\frac{1}{2}$AC.又因为AB=AC,所以AB=2AD.分两种情况：①当AB+AD=24 cm时,2AD+AD=24 cm,解得AD=8 cm.所以CD=8 cm.因为BC+CD=30 cm,所以BC=30 - CD=22 cm；②当AB+AD=30 cm时,2AD+AD=30 cm,解得AD=10 cm.所以CD=10 cm.因为BC+CD=24 cm,所以BC=24 - CD=14 cm.所以BC的长为14 cm或22 cm.

12. 过等腰三角形底角顶点的一条直线,将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形,求原等腰三角形顶角的度数。

答案：
【解】分两种情况讨论：①如图①,BC=BD=AD,AB=AC,设∠A=α.因为BD=AD,所以∠ABD=∠A=α.所以∠CDB=∠ABD+∠A=2α.又因为BC=BD,所以∠C=∠CDB=2α.又因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=2α.因为∠A+∠ABC+∠C=180°,所以α+2α+2α=180°,解得α=36°,即此时原等腰三角形的顶角为36°； ②如图②,AD=BD,BC=DC,AB=AC,设∠A=β.因为AD=BD,所以∠A=∠ABD=β.所以∠BDC=∠A+∠ABD=2β. 因为BC=DC,所以∠CBD=∠BDC=2β.所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=3β.又因为AB=AC,所以∠ABC=∠C=3β.因为∠A+∠ABC+∠C=180°,所以β+3β+3β=180°,解得β=($\frac{180}{7}$)°,即此时原等腰三角形的顶角为($\frac{180}{7}$)°.综上,原等腰三角形顶角的度数为36°或($\frac{180}{7}$)°.