《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

12. 立德树人 热爱劳动 “爱劳动,劳动美”. 甲、乙两同学同时从家里出发,分别到距家 $ 6 $ km 和 $ 10 $ km 的实践基地参加劳动. 若甲、乙的速度比是 $ 3:4 $,结果甲比乙提前 $ 20 $ min 到达基地,求甲、乙的速度. 设甲的速度为 $ 3x $ km/h,则依题意可列方程为$\frac{6}{3x}+\frac{1}{3}=\frac{10}{4x}$.

答案： $\frac{6}{3x}+\frac{1}{3}=\frac{10}{4x}$

13. [2024 重庆] 为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共 $ 30 $ 条生产线的设备进行更新换代.
(1) 为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策. 根据相关政策,更新 $ 1 $ 条甲类生产线的设备可获得 $ 3 $ 万元的补贴,更新 $ 1 $ 条乙类生产线的设备可获得 $ 2 $ 万元的补贴. 这样更新完这 $ 30 $ 条生产线的设备,该企业可获得 $ 70 $ 万元的补贴. 该企业甲、乙两类生产线各有多少条？
(2) 经测算,购买更新 $ 1 $ 条甲类生产线的设备比购买更新 $ 1 $ 条乙类生产线的设备需多投入 $ 5 $ 万元,用 $ 200 $ 万元购买更新甲类生产线的设备数量和用 $ 180 $ 万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得 $ 70 $ 万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备？

答案： 【解】
(1)设该企业甲类生产线有$x$条，
根据题意，得$3x+2(30-x)=70$，解得$x=10$，则$30-x=20.$
∴该企业甲类生产线有10条，乙类生产线有20条.
(2)设购买更新1条甲类生产线的设备为$m$万元，
则$\frac{200}{m}=\frac{180}{m-5}$，解得$m=50,$
经检验，$m=50$是原方程的根，且符合题意.
则$m-5=45.$
∴$10× 50+20× 45-70=1330$(万元).
∴还需投入1330万元的资金更新生产线的设备.

14. 若 $ m $ 满足 $ m^{2} - m - 1 = 0 $,则 $ m - \dfrac{m^{2} - 1}{m^{2} + 2m + 1} ÷ \dfrac{m - 1}{m} $ 的值为1.

答案： 1

15. 已知 $ 2x - 3y + z = 0 $,$ 3x - 2y - 6z = 0 $,且 $ z \neq 0 $,则 $ \dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{2x^{2} + y^{2} - z^{2}} $ 的值为$\frac{13}{20}$.

答案： $\frac{13}{20}$【点拨】由$2x-3y+z=0$，$3x-2y-6z=0,$
得$\left\{\begin{array}{l}2x-3y=-z,\\ 3x-2y=6z,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=4z,\\ y=3z.\end{array}\right.$
∴原式$=\frac{(4z)^{2}+(3z)^{2}+z^{2}}{2× (4z)^{2}+(3z)^{2}-z^{2}}=\frac{16z^{2}+9z^{2}+z^{2}}{32z^{2}+9z^{2}-z^{2}}=\frac{26z^{2}}{40z^{2}}=\frac{13}{20}.$
方法 本题先用含$z$的式子分别表示出$x$与$y$，然后代入所求式子消去$x,y$这两个未知数，从而简化求值过程，体现了转化思想.

16. 阅读下列解题过程：
已知 $ \dfrac{x}{x^{2} + 1} = \dfrac{1}{2} $,求 $ \dfrac{x^{2}}{x^{4} + 1} $ 的值.
解：由 $ \dfrac{x}{x^{2} + 1} = \dfrac{1}{2} $,知 $ x \neq 0 $,
$ \therefore \dfrac{x^{2} + 1}{x} = 2 $,即 $ x + \dfrac{1}{x} = 2 $,
$ \therefore \dfrac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = \left( x + \dfrac{1}{x} \right)^{2} - 2 = 2^{2} - 2 = 2 $,
$ \therefore \dfrac{x^{2}}{x^{4} + 1} $ 的值为 $ 2 $ 的倒数,即 $ \dfrac{1}{2} $.
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”,然后求出待求式子倒数的值,我们把这种解法叫作“倒数法”.
请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1) 已知 $ \dfrac{x}{x^{2} - x + 1} = \dfrac{1}{4} $,则 $ \dfrac{x^{2}}{x^{4} - 2x^{2} + 1} = $$\frac{1}{21}$；
(2) 已知 $ \dfrac{xy}{x + y} = 2 $,$ \dfrac{yz}{y + z} = \dfrac{4}{3} $,$ \dfrac{zx}{z + x} = \dfrac{4}{3} $,求 $ \dfrac{xyz}{xy + yz + zx} $ 的值.

答案： 【解】
(1)$\frac{1}{21}$【点拨】由$\frac{x}{x^{2}-x+1}=\frac{1}{4}$，知$x\neq 0,$
∴$\frac{x^{2}-x+1}{x}=4.$
∴$x-1+\frac{1}{x}=4$，即$x+\frac{1}{x}=5.$
∴$\frac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-4=5^{2}-4=21.$
∴$\frac{x^{2}}{x^{4}-2x^{2}+1}$的值为21的倒数，即$\frac{1}{21}.$
(2)由$\frac{xy}{x+y}=2$，知$x\neq 0,y\neq 0,$
∴$\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}.$①
由$\frac{yz}{y+z}=\frac{4}{3}$，知$z\neq 0$，
∴$\frac{y+z}{yz}=\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{3}{4}.$②
∵$\frac{zx}{z+x}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{z+x}{zx}=\frac{3}{4}$，即$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{3}{4}.$③
∴①+②+③，得$2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=2,$
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1.$
∴$\frac{xy+yz+zx}{xyz}=\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1.$
∴$\frac{xyz}{xy+yz+zx}$的值为1的倒数，即1.