《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. [2025石家庄新华区月考]化简$\frac{3m + n}{m - n} - \frac{4n}{m - n}$的结果是(D)
A.1
B.-1
C.$\frac{m - 5n}{m - n}$
D.3

答案： D

2. 新考法 数形结合法 若x是非负整数,则表示$\frac{2x}{x + 2} - \frac{x^2 - 4}{(x + 2)^2}$的值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是(B)

A.①
B.②
C.③
D.①或②

答案： B 【点拨】原式$=\frac{2x}{x+2}-\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}=\frac{2x}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}=$$\frac{2x-(x-2)}{x+2}=\frac{2x-x+2}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}=1$，则表示$\frac{2x}{x+2}-$$\frac{x^2-4}{(x+2)^2}$的值的对应点落在数轴上的范围是②.

3. [2024河北]已知A为整式,若计算$\frac{A}{xy + y^2} - \frac{y}{x^2 + xy}的结果为\frac{x - y}{xy}$,则A = (A)
A.x
B.y
C.x + y
D.x - y

答案： A

4. 新考法 整体代入法 若a,b互为倒数,且a ≠ b,则分式$\frac{a^2b}{a - b} - \frac{ab^2}{a - b}$的值为1。

答案： 1

5. 分式$\frac{1}{x^2 - 2x}与\frac{2}{x^2 - 4}$的最简公分母是$x(x+2)(x-2)$。

答案： $x(x+2)(x-2)$【点拨】分式$\frac{1}{x^2-2x}$与$\frac{2}{x^2-4}$的分母分别是$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，故最简公分母是$x(x+2)(x-2)$.

6. 若将分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}与分式\frac{x}{2(x - y)}$通分后,分式$\frac{x}{2(x - y)}$的分母变为2(x + y)(x - y),则分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为$6x^2$。

答案： $6x^2$

7. 计算：
(1)$\frac{3a - 2}{a^2 - a} + \frac{2a - 1}{a - a^2}$；
(2)$\frac{x^2}{x + 3} - x + 3$；
(3)$\frac{a^2 - 4}{a^2 - 4a + 4} - \frac{1}{a - 2} - \frac{a}{a + 2}$。

答案： 【解】
(1)原式$=\frac{3a-2}{a^2-a}-\frac{2a-1}{a^2-a}=\frac{3a-2-(2a-1)}{a^2-a}=$$\frac{3a-2-2a+1}{a(a-1)}=\frac{a-1}{a(a-1)}=\frac{1}{a}$.
(2)原式$=\frac{x^2}{x+3}-\frac{x-3}{1}=\frac{x^2}{x+3}-\frac{x^2-9}{x+3}=\frac{9}{x+3}$.
(3)原式$=\frac{(a-2)(a+2)}{(a-2)^2}-\frac{1}{a-2}-\frac{a}{a+2}$$=\frac{a+2}{a-2}-\frac{1}{a-2}-\frac{a}{a+2}=\frac{a+1}{a-2}-\frac{a}{a+2}$$=\frac{(a+1)(a+2)-a(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\frac{a^2+3a+2-a^2+2a}{a^2-4}$$=\frac{5a+2}{a^2-4}$.

8. 新考法 作差比较法 已知$P = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$,$Q = \frac{2ab}{a^2 - b^2}$,其中a ＞ b ＞ 0,则P,Q的大小关系是(B)
A.P = Q
B.P ＞ Q
C.P ＜ Q
D.不能确定

答案： B

9. [2024雅安]已知$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$(a + b ≠ 0),则$\frac{a + ab}{a + b} = $(2)
A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3

答案： C 【点拨】$\because\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1(a+b\neq0)$，$\therefore\frac{2b+a}{ab}=1$.$\therefore a+$$2b=ab$.$\therefore\frac{a+ab}{a+b}=\frac{a+a+2b}{a+b}=\frac{2(a+b)}{a+b}=2$，故选 C.

10. 新趋势 跨学科综合 照相机成像原理用公式$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$(v ≠ f)表示,其中f表示照相机镜头的焦距,u表示物体到镜头的距离,v表示胶片(像)到镜头的距离。已知f,v,则u = (C)
A.$\frac{fv}{f - v}$
B.$\frac{f - v}{fv}$
C.$\frac{fv}{v - f}$
D.$\frac{v - f}{fv}$

答案： C

11. 新考法 整体求值法 已知实数x,y,z满足$\frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} = \frac{7}{6}$,且$\frac{z}{x + y} + \frac{x}{y + z} + \frac{y}{z + x} = 11$,则x + y + z的值为(12)
A.12
B.14
C.$\frac{22}{7}$
D.9

答案： A 【点拨】$\because\frac{x}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=11$，$\therefore1+\frac{z}{x+y}+1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}=14$，即$\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}=14$.$\therefore\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{14}{x+y+z}$.又$\because\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{7}{6}$，$\therefore\frac{14}{x+y+z}=\frac{7}{6}$.$\therefore x+y+z=12$.