《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. [2025石家庄长安区月考]在式子：$\frac{3y}{x},\frac{3}{x + 1},\frac{x + 1}{3},\frac{2}{\pi},\frac{a^2}{a}$中,分式的个数是(C)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

2. [2024天津]计算$\frac{3x}{x - 1}-\frac{3}{x - 1}$的结果等于(A)
A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x - 1}$
D.$\frac{3}{x^2 - 1}$

答案： A

3. 新趋势 跨学科综合 在如图所示的电路图中,总电阻$R与R_1,R_2的关系为\frac{1}{R}= \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$,则$R= $(B)

A.$\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$
B.$\frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$
C.$\frac{R_1 + R_2}{R_1R_2}$
D.$R_1 + R_2$

答案： B

4. 立德树人 节约用水 节约用水,人人有责.某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地,$a天用水m$t,现在改用喷灌方式,可使这些水多用4天,现在比原来每天少用水(C)
A.$\frac{4m}{a}$t
B.$\frac{4am}{a + 4}$t
C.$\frac{4m}{a(a + 4)}$t
D.$\frac{am + 3m}{a(a + 4)}$t

答案： C

5. 为了练习分式的化简,张老师让同学们在式子$\frac{a^2}{a - 2}和\frac{4a - 4}{2 - a}$中间加上“×”“÷”“-”“+”四个运算符号中的任意一个后进行化简,若化简的结果为$a - 2$,则所加的运算符号为(D)
A.×
B.÷
C.-
D.+

答案： D

6. 若$a$为正整数,则化简$\frac{a + 1}{a^2 - a}÷\frac{a + 1}{a^2 - 2a + 1}$的结果可以是(B)
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.2

答案： B 【点拨】原式$=\frac {a+1}{a(a-1)}÷\frac {a+1}{(a-1)^{2}}=\frac {a+1}{a(a-1)}\cdot\frac {(a-1)^{2}}{a+1}=\frac {a-1}{a}$.
∵a≠0,a+1≠0,a-1≠0,
∴a≠0且a≠-1且a≠1.易知$\frac {a-1}{a}＜1$且$\frac {a-1}{a}≠0$,
∴选项A,C,D均不符合题意.当原式$=\frac {a-1}{a}=\frac {1}{2}$时,a=2,符合题意.

7. 新趋势 学科内综合 记$\triangle ABC的内角\angle A,\angle B,\angle C的对边长分别为a,b,c$,已知$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}= \frac{a + b}{a + b - c}$,则下列判断中一定成立的是(B)
A.$\angle A\geq90^{\circ}$
B.$\angle C\lt90^{\circ}$
C.$\angle B\gt\angle C$
D.$\angle A+\angle C\leq90^{\circ}$

答案： B 【点拨】$\because \frac {c}{a}+\frac {c}{b}=\frac {a+b}{a+b-c},\therefore \frac {c(a+b)}{ab}=\frac {a+b}{a+b-c}.$$\because a+b≠0,\therefore \frac {c}{ab}=\frac {1}{a+b-c}$,整理,得$c^{2}-(a+b)c+ab=0$,即$(c-a)(c-b)=0,\therefore c=a$或$c=b$.若$c=a$,则$∠A=$$∠C.\because ∠A+∠B+∠C=180^{\circ },\therefore ∠C＜90^{\circ }$;若$c=b$,则$∠B=∠C.\because ∠A+∠B+∠C=180^{\circ },\therefore ∠C＜90^{\circ }$.综上,$∠C＜90^{\circ }$一定成立,故选项B正确,符合题意.

8. 新考法 发现规律法 已知一列均不为1的数$a_1,a_2,a_3,…,a_n$满足如下关系：$a_2= \frac{1 + a_1}{1 - a_1},a_3= \frac{1 + a_2}{1 - a_2},a_4= \frac{1 + a_3}{1 - a_3},…,a_{n + 1}= \frac{1 + a_n}{1 - a_n}$,若$a_1 = 2$,则$a_{2025}$的值是(D)
A.$-\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.-3
D.2

答案： D 【点拨】$\because a_{1}=2,\therefore a_{2}=-3.\therefore a_{3}=-\frac {1}{2}.\therefore a_{4}=$$\frac {1}{3}.\therefore a_{5}=2$,…由上可得,每四个为一个循环,依次以2,$-3,-\frac {1}{2},\frac {1}{3}$出现.$\because 2025÷4=506... 1,\therefore a_{2025}=a_{1}=$2,故选D.

9. 分式$\frac{y}{2x},\frac{x}{3y^2},\frac{3}{4xy}$的最简公分母是$12xy^{2}$.

答案： $12xy^{2}$

10. 新视角 结论开放题 如果的运算结果为整式,则被遮挡的式子可能是2x(写出一个即可).

答案： 2x(答案不唯一)

11. 新考法 新定义计算法 式子$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} $称为二阶行列式,规定它的运算法则为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$,则二阶行列式$\begin{vmatrix}a^2 - a&1\\a&\frac{1}{a^2 - 1}\end{vmatrix} = $$-\frac {a^{2}}{a+1}$.

答案： $-\frac {a^{2}}{a+1}$

12. 新考法 分类讨论法 已知$a,b,c满足\frac{a + b + c}{d}= \frac{a + b + d}{c}= \frac{a + c + d}{b}= \frac{b + c + d}{a}= m$,则$m$的值为-1 或 3.

答案： -1 或 3 【点拨】$\because \frac {a+b+c}{d}=\frac {a+b+d}{c}=\frac {a+c+d}{b}=$$\frac {b+c+d}{a}=m,\therefore a+b+c=dm,a+b+d=cm,a+c+$$d=bm,b+c+d=am.\therefore 3(a+b+c+d)=m(a+b+c+$$d).\therefore (a+b+c+d)(m-3)=0$.当$a+b+c+d=0$时,$a+b+c=-d,\therefore m=-1$;当$a+b+c+d≠0$时,$m-$$3=0,\therefore m=3$.综上,$m=-1$或$m=3.$