《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

1. 如图,$AC = AD$,$BC = BD$,则有(A)

A.$AB垂直平分CD$
B.$CD垂直平分AB$
C.$AB与CD$互相垂直平分
D.以上都不正确

答案： A

2. 有三名同学在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,如果将三人视为三角形的三个顶点,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置是在三角形的(B)
A.三边中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点

答案： B

3. 如图,点$D在\triangle ABC的边BC$上,且$BC = BD + AD$,则点$D$在某一线段的垂直平分线上. 这条线段是(B)

A.$AB$
B.$AC$
C.$BC$
D.不确定

答案： B

4. 已知在同一平面内,$C$,$D是线段AB$外的两点,$AC = BC$,$AD = BD$,点$P在直线CD$上. 若$AP = 5$,则$BP$的长为5.

答案： 5

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$,$DE\perp AB于点E$,连接$CE$. 求证：直线$AD是线段CE$的垂直平分线.

答案： 【证明】
∵DE⊥AB,
∴∠AED=90°=∠ACB.又
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAE=∠DAC.又
∵AD=AD,
∴△AED≌△ACD,
∴AE=AC,DE=CD.
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.

6. 如图,$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D$,$E分别是AC$,$AB$上的点,且$AD = AE$,连接$BD$,$CE交于点P$.
(1) 求证：$\angle ABD = \angle ACE$；
(2) 连接$AP$,求证：$AP所在直线垂直平分BC$.

答案： 【证明】
(1)在△BAD和△CAE中,{AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE.
(2)由
(1)知△BAD≌△CAE,∠ABD=∠ACE,
∴∠ADB=∠AEC,
∴∠BEC=∠CDB.
∵AB=AC,AD=AE,
∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD.在△BEP和△CDP中,{∠BEP=∠CDP,BE=CD,∠EBP=∠DCP,
∴△BEP≌△CDP(ASA),
∴PB=PC,
∴点P在线段BC的垂直平分线上.又
∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上,
∴AP所在直线垂直平分BC.

7. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$,$AB = 25\ cm$,$DA = 15\ cm$,$CB = 10\ cm$. 动点$E从A$点出发,以$2\ cm/s的速度向B$点移动,设移动的时间为$x\ s$.
(1) 当$x$为何值时,点$E在线段CD$的垂直平分线上？为什么？
(2) 在(1)的条件下,判断$DE与CE$的位置关系,并说明理由.

答案： 【解】
(1)当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.理由:由题可知AE=2x cm,则BE=(25-2x)cm,当点E在线段CD的垂直平分线上时,DE=CE.
∵在Rt△ADE中,DE=√(AD²+AE²),在Rt△BEC中,CE=√(BE²+CB²),
∴√(AD²+AE²)=√(BE²+CB²),即√(15²+(2x)²)=√((25-2x)²+10²),解得x=5.
∴当x=5时,点E在线段CD的垂直平分线上.
(2)DE与CE的位置关系是DE⊥CE.理由:易知AE=10 cm=BC,BE=15 cm=AD.又
∵∠A=∠B=90°,
∴△ADE≌△BEC,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠A=90°,
∴∠ADE+∠AED=90°.
∴∠AED+∠CEB=90°.
∴∠DEC=180°-(∠AED+∠CEB)=90°.
∴DE⊥CE.