《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

10. 如图,小颖同学想画 $ \angle AOB $ 的平分线,可忘了带量角器和圆规,只有一个带刻度的直角三角尺,于是她做了如下操作：在 $ OA $,$ OB $ 边上量取 $ OC = OD = 2\ cm $,分别过点 $ C $,点 $ D $ 作 $ CF \perp OA $,$ DE \perp OB $,$ CF $ 与 $ DE $ 交于点 $ P $,作射线 $ OP $,则射线 $ OP $ 就是 $ \angle AOB $ 的平分线。请判断小颖的做法是否可行？并说明理由。
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答案： 【解】小颖的做法可行. 理由如下：
∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴∠OCF = ∠ODE = 90°. 在 Rt△COP 和 Rt△DOP 中，$\begin{cases} OP = OP \\ OC = OD \end{cases}$，
∴Rt△COP≌Rt△DOP(HL).
∴∠COP = ∠DOP，
∴OP 平分∠AOB.

11. [2025 保定模拟] 如图 ①,图 ②,在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ D $ 为 $ \angle BAC $ 的平分线上一点。
(1) 如图 ①,当点 $ D $ 在线段 $ BC $ 上时,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $,分别交 $ AC $,$ AD $ 于点 $ E $,$ F $,求 $ \angle BFD $ 的度数。
(2) 如图 ②,当点 $ D $ 在 $ \triangle ABC $ 的外部时,过点 $ D $ 作 $ DM \perp AB $,交 $ AB $ 于点 $ M $,$ DN \perp AC $,交 $ AC $ 的延长线于点 $ N $,且 $ BM = CN $。
① 连接 $ BD $,$ CD $。求证：点 $ D $ 在 $ BC $ 的垂直平分线上；
② 若 $ AB = 10 $,$ AC = 6 $,则 $ CN = $2。
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答案：
(1)【解】在△ABC 中，∠ACB = 90°，
∴∠ABC + ∠BAC = 90°.
∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠ABE = $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠BFD = ∠BAD + ∠ABE = $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC) = 45°.
(2)①【证明】
∵AD 平分∠BAC，DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于点 N，
∴DM = DN. 又
∵BM = CN，∠DMB = ∠DNC = 90°，
∴△DBM≌△DCN(SAS)，
∴DB = DC，
∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线上. ②2 【点拨】
∵AB = 10，AC = 6，
∴AB + AC = 16.
∵在 Rt△ADM 和 Rt△ADN 中，AD = AD，DM = DN，
∴Rt△ADM≌Rt△ADN(HL)，
∴AM = AN.
∵AM = AB - BM，AN = AC + CN，
∴AM + AN = AB + AC = 16，
∴AN = 8，
∴CN = AN - AC = 2.

12. 【问题提出】
(1) 如图 ①,点 $ N $ 在 $ BC $ 的延长线上, $ \angle ABC $ 的平分线与 $ \angle ACN $ 的平分线交于点 $ D $,求证： $ \angle BAC = 2\angle D $；
【拓展探究】
(2) 如图 ②,点 $ N $ 在 $ BC $ 的延长线上,点 $ M $ 在 $ BA $ 的延长线上, $ \angle ABC $ 的平分线与 $ \angle ACN $ 的平分线交于点 $ D $,过点 $ D $ 作 $ DE \perp BC $ 于点 $ E $。连接 $ AD $,求证：$ AD $ 平分 $ \angle CAM $；
【学以致用】
(3) 如图 ③,在四边形 $ ABCD $ 中,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ 2\angle ACD + \angle ACB = 180^{\circ} $,若 $ \angle BDC = 20^{\circ} $,求 $ \angle DAC $ 的度数。
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答案：
(1)【证明】
∵∠ABC 的平分线与∠ACN 的平分线交于点 D，
∴∠ABD = ∠CBD = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠ACD = ∠DCN = $\frac{1}{2}$∠ACN.
∵∠ACN = ∠BAC + ∠ABC，∠DCN = ∠BDC + ∠CBD，
∴∠BAC + ∠ABC = 2∠BDC + 2∠CBD，
∴∠BAC = 2∠BDC.
(2)【证明】如图①，过点 D 作 DP⊥BM 于点 P，DQ⊥AC 于点 Q，
∵DE⊥BC，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACN，
∴DP = DE，DQ = DE，
∴DP = DQ，
∴AD 平分∠CAM.
(3)【解】如图②，过点 D 分别作 DP⊥BA 交 BA 的延长线于点 P，DE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E.
∵2∠ACD + ∠ACB = 180°，∠ACB + ∠ACE = 180°，
∴∠ACE = 2∠ACD，
∴CD 平分∠ACE.
∵BD 平分∠ABC，
∴由
(1)得∠BAC = 2∠BDC = 40°，
∴∠CAP = 180° - ∠BAC = 140°. 由
(2)得 AD 平分∠CAP，
∴∠CAD = $\frac{1}{2}$∠CAP = 70°.