《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

15. 新考向 传统文化 庐山云雾茶历史悠久,是中国名茶系列之一。如图是庐山云雾茶的一种包装铁盒,若其内部底面半径为$2\sqrt{5}cm$,深$6\sqrt{2}cm$,则其容积为 120√2π$cm^3$(结果保留根号和$\pi$)。

答案： 120√2π

16. 若$\sqrt{24} × 4\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{48} = 2\sqrt{6} × 4 × \frac{a}{2} ÷ 4\sqrt{3} = b$,则$a = $√2,$b = $2。

答案： √2;2 【点拨】由题意可得b=√24×4√(1/2)÷√48=√(24×16×1/2÷48)=2.
∴a=(2×4√3)/(2√6×4)×2=√(1/2)×2=√2.

17. 将$1$,$\sqrt{3}$,$\sqrt{5}$,$\sqrt{15}$按如下方式排列,若规定$(m, n)表示第m排从左向右第n$个数,则$(4, 4)与(10, 2)$表示的两个数之积是 √15。

答案： √15

18. 新考向 数学文化 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？
海伦公式告诉你,计算的方法是$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$,其中$S$表示三角形的面积,$a$,$b$,$c$分别表示三边的长,$p$表示周长的一半,即$p = \frac{a + b + c}{2}$。
我国南宋数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致,所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”。
请你利用公式解答下列问题。
(1)在$\triangle ABC$中,已知$AB = 9$,$BC = 10$,$CA = 11$,求$\triangle ABC$的面积；
(2)计算(1)中$\triangle ABC的BC$边上的高。

答案： 【解】
(1)
∵AB=9,BC=10,CA=11,
∴p=(9+10+11)/2=15.
∴△ABC的面积=√[15×(15-9)×(15-10)×(15-11)]=30√2.
(2)设BC边上的高为h,则1/2×10h=30√2,解得h=6√2,
∴
(1)中△ABC的BC边上的高为6√2.

19. 新考法 阅读类比法 阅读下面的材料,解答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含二次根式,那么我们就说这两个代数式互为有理化因式,例如：$\sqrt{a}与\sqrt{a}$,$\sqrt{2} + 1与\sqrt{2} - 1$。这样,化简一个分母含有二次根式的式子时,采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可以了,例如：
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$,
$\frac{2}{3 - \sqrt{3}} = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{2(3 + \sqrt{3})}{6} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$。
(1)请你写出$3 + \sqrt{11}$的有理化因式：3-√11(答案不唯一)；
(2)请仿照上面给出的方法化简$\frac{1 - b}{1 - \sqrt{b}}$($b \geq 0且b \neq 1$)；
(3)已知$a = \frac{1}{\sqrt{3} - 2}$,$b = \frac{1}{\sqrt{3} + 2}$,求$\sqrt{a^2 + b^2 + 2}$的值。

答案： 【解】
(1)3-√11(答案不唯一)
(2)原式=(1-b)(1+√b)/[(1-√b)(1+√b)]=(1-b)(1+√b)/(1-b)=1+√b.
(3)a=1/(√3-2)=(√3+2)/[(√3-2)(√3+2)]=-√3-2,b=1/(√3+2)=(√3-2)/[(√3+2)(√3-2)]=-√3+2.把a,b的值代入,得√(a²+b²+2)=√(7+4√3+7-4√3+2)=√16=4.