《2025年综合应用创新题典中点八年级数学上册冀教版》

9. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$\angle BAC = 60^{\circ}$,$BE$,$CD为三角形ABC$的角平分线,$BE$,$CD交于点F$,$FG平分\angle BFC交BC于点G$. 有下列四个结论：①$\angle BFC = 120^{\circ}$；②$BD = BG$；③$\triangle BDF \cong \triangle CEF$；④$BC = BD + CE$. 其中结论正确的序号为(B)

A.①②③
B.①②④
C.②③④
D.①③④

答案： B 【点拨】因为BE，CD为三角形ABC的角平分线，所以∠ABE=∠CBE，∠ACD=∠BCD.所以∠EBC+∠DCB=1/2∠ABC+1/2∠ACB=1/2×(180° - ∠A)=60°.所以∠BFC=180°-(∠EBC+∠DCB)=120°，故①正确.因为∠BFC=120°，FG平分∠BFC，所以∠BFD=60°，∠BFG=1/2∠BFC=60°.在△BDF和△BGF中，{∠BFD=∠BFG=60°，BF=BF，∠DBF=∠GBF，所以△BDF≌△BGF(ASA).所以BD=BG，DF=GF，故②正确.同理可得△CEF≌△CGF，所以EF=FG.所以DF=EF.在△BDF和△CEF中，∠BFD=∠CFE=60°，但∠DBF与∠ECF不一定相等.所以△BDF和△CEF不一定全等，故③错误.由△CEF≌△CGF可得CE=CG，所以BC=BG+CG=BD+CE，故④正确.故选B.

10. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ}$,$AC = CD$,$BC = 4cm$,则$\triangle BCD$的面积为______$cm^{2}$.

答案：
8 【点拨】如图，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，则∠H=90°.

因为∠ABC=90°，所以∠BAC+∠ACB=90°.因为∠ACD=90°，所以∠HCD+∠ACB=90°，所以∠BAC=∠HCD.在△ABC和△CHD中，{∠BAC=∠HCD，∠ABC=∠CHD=90°，AC=CD，所以△ABC≌△CHD(AAS)，所以DH=BC=4 cm，所以S△BCD=1/2BC·DH=1/2×4×4=8(cm²).

11. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD \perp BC于D$,$CE \perp AB于E$,$AD与CE交于点F$,且$AD = CD$.
(1) 试说明：$\triangle ABD \cong \triangle CFD$；
(2) 已知$BC = 7$,$AD = 5$,求$AF$的长.

答案： 【解】
(1)因为AD⊥BC，CE⊥AB，所以∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，所以∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，所以∠BAD=∠FCD.在△ABD和△CFD中，{∠ADB=∠CDF，AD=CD，∠BAD=∠FCD，所以△ABD≌△CFD(ASA).
(2)因为△ABD≌△CFD，所以BD=DF.因为BC=7，CD=AD=5，所以BD=BC - CD=2，所以DF=2.所以AF=AD - DF=5 - 2=3.

12. 【问题情境】在两个不全等的三角形中,有两组边对应相等,其中一组是公共边,另一组等边所对的角对应相等,就称这两个三角形为“共边等角三角形”. 例如图①,在$\triangle ABC与\triangle ABD$中,$AB$是公共边,$BC = BD$,$\angle A = \angle A$,则$\triangle ABC与\triangle ABD$是“共边等角三角形”.
【任务一】如图②,借助尺规在线段$AD上找一点E$,连接$CE$,使得$\triangle ACE与\triangle ACD$是“共边等角三角形”；(保留作图痕迹,不写作法)
【任务二】如图②,已知$\angle 1 = \angle 2$,$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$,试说明：$\triangle ACB与\triangle ACD$是“共边等角三角形”；
【任务三】如图③,请你借助尺规在$\triangle ABC$中添加两条线段,画出存在两对“共边等角三角形”的图形.(保留作图痕迹,不写作法)

答案：
【解】【任务一】如图①所示，CE即为所求.
【任务二】如图①，取ED的中点F，连接CF，则EF=FD.又因为CE=CD，CF=CF，所以△CEF≌△CDF.所以∠CED=∠D.又因为∠CED+∠CEA=180°，且∠B+∠D=180°，所以∠B=∠CEA.又因为∠1=∠2，AC=AC，所以△ABC≌△AEC(AAS).所以BC=CE，所以BC=CD.在△ACB与△ACD中，AC=AC，BC=CD，∠1=∠2，所以△ACB与△ACD是“共边等角三角形”.

【任务三】如图②所示，△ABC中存在两对“共边等角三角形”，分别是△ABD与△ABE，△ACE与△ACD.